Gränsvärden
1. En linje går genom en punkt med koordinaten \((3,10)\) och skär kurvan till grafen till funktionen \(f(x)=x^2+1\) i punkten med koordinaten \((x,f(x))\)
- Bestäm linjens lutning \(k\) i termer av \(x\)
$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{x^2+1-10}{x-3}=\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}= x+3$$
Svar: \(k=x+3\) - Vad får lutningen \(k\) för värde om vi låter \(x\) gå mot \(3\)?
$$\lim_{x\to 3}x+3 = 3+3 = 6$$
Svar: \(6\)
- Rita upp grafen för \(f(x)\) och linjen när \(x=3\)
2. Bestäm gränsvärdet
$$\lim_{x\to 0}\frac{x-3x^2}{2x^2+2x}$$
Vi börjar med att bryta ut x från täljaren och nämnaren:
$$\lim_{x\to 0}\frac{x(1-3x)}{x(2x+2)}= \lim_{x\to0}\frac{1-3x}{2x+2}$$
Nu har vi inte längre 0 i nämnaren och kan låta \(x=0\)
$$ \lim_{x\to0}\frac{1-3x}{2x+2}= \frac{1-0}{0+2}= \frac{1}{2}$$
Svar: \(\frac{1}{2}\)
3. Beräkna gränsvärdet nedan för \(f(x) = 2x^2-x\)
$$\lim_{a\to 0}\frac{f(3+a)-f(3)}{a}$$
Vi sätter in \(3+a\) och \(3\) i funktionen i gränsvärdet och förenklar så långt vi kan:
$$\lim_{a\to 0}\frac{2(3+a)^2-(3+a)-(2\cdot3^2-3)}{a}$$
$$\lim_{a\to 0}\frac{(18+12a+2a^2)-3-a-15}{a}=$$
$$=\lim_{a\to0}\frac{2a^2+11a}{a}$$
Nu bryter vi ut ett \(a\) från alla termer i täljaren och förkortar sen bort \(a\)
$$=\lim_{a\to0}\frac{a(2a+11)}{a}= \lim_{a\to0} 2a+11=0+11=11$$
Svar: \(11\)
4. Bestäm gränsvärdet
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9x+18}{x-3}+6$$
Vi börjar med att förlänga \(6\) med nämnaren \(x-3\) så den kan skrivas på samma bråkstreck.
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9x+18+6x-18}{x-3}$$
Vi förenklar:
$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-3x}{x-3}$$
Vi bryter ut \(x-3\) ur täljaren och förkortar
$$\lim_{x\to 3}\frac{x(x-3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}x =3 $$
Svar: \(3\)
5. Bestäm gränsvärdet
$$\lim_{x\to \infty}5^{\frac{1}{x}}$$
Vi vet att
$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x} = 0$$
Vi använder det och får
$$\lim_{x\to \infty}5^0 = 1$$
Svar: \(1\)