Talserier

1. De första talen i en aritmetisk talföljd är:

$$a_1=5, \; a_2=15 \text{ och } a_3=25$$

Ange formeln för \(a_n\) och beräkna \(a_{20}\).

2. En talföljd ges av den rekursiva formeln \(a_{n+1}=2a_n\), då \(a_1=3\). Bestäm en formel för summan \(S_n\) av de \(n\) första talen och beräkna \(S_{10}\).

Lösningsförslag:

1.

För att kunna bestämma en formel för talserien måste vi hitta sambandet mellan de tre talen 5, 15 och 25.

Vi kan se att skillnaden mellan talen är 10 och att vi startar på värdet 5. Utifrån denna information kan vi ställa upp formeln för \(a_n\), vilken är:

$$a_n=5+(n-1)\cdot 10$$

Med hjälp av denna formel kan vi räkna ut \(a_{20}\) genom:

$$a_{20}=5+(20-1)\cdot10=195$$

2.

Vi börjar med att undersöka den rekursiva talföljden. Vi testar några värden i formeln \(a_{n+1}=2a_n\) och startar för det första talet \(a_1=3\).

$$\begin{align} & a_1=3 \\ & a_2=2\cdot3=6\\ &a_3=2\cdot6=12\\ &a_4=2\cdot12=24\end{align}$$

Här kan vi inte se några direkta samband i talserien, men vi kan skriva om talserien på följande sätt:

$$\begin{align} & a_1=2^0\cdot3=3\\&a_2=2^1\cdot3=6\\&a_3=2^2\cdot3=12\\&a_4=2^3\cdot3=24\end{align}$$

Nu kan vi se att talföljden är en geometrisk serie på formeln \(a_n=3\cdot2^{n-1}\), där kvoten är 2.

Vi ska nu bestämma en formel för summan av talen i serien. Först härleder vi summan för \(S_{10}\) och sen bestämmer vi en allmän formel för \(S_n\).

$$S_{10}=2^0\cdot3+2^1\cdot3+\dots+2^9\cdot3$$

Förläng med 2 i båda leden:

$$\begin{align} & 2\cdot S_{10}=2\cdot(2^0\cdot3+2^1\cdot3+\dots+2^9\cdot3) \\ & 2\cdot S_{10}=2^1\cdot3+2^2\cdot3+\dots+2^{10}\cdot3\end{align}$$

Subtrahera \(S_{10}\) från båda leden:

$$\begin{align} 2\cdot S_{10}-S_{10} = & (2^1\cdot3+2^2\cdot3+\dots+2^{10}\cdot3)-S_{10}\\ S_{10} = & (2^1\cdot3+2^2\cdot3+\dots+2^{10}\cdot3)-\\ & (2^0\cdot3+2^1\cdot3+\dots+2^9\cdot3) \\ S_{10}= & 3\cdot 2^{10}-3 = 3069\end{align}$$

Den allmäna formeln för summan är då:

$$S_n=3(2^n-1)$$