Andragradsfunktioner

Hittills har vi studerat hur nolltegradspolynom (y=a) och förstagradspolynom (y=ax+b) ser ut grafiskt. Vi ska nu studera hur ett andragradspolynom ser ut i ett koordinatsystem.

Vi ska börja med följande funktion:

$$y(x)=x^{2}$$

För att förstå hur funktioner av detta slag ser ut som graf så skapar vi först en värdetabell:

x f(x)
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9

Sedan sätter vi in varje par av värden (x, y(x)) som punkter i ett koordinatsystem och sammanbinder punkterna:

Andragradsfunktion

Det ser ut som att sambandet bildar en symmetrisk u-formad kurva, som skär genom origo. Detta är helt rätt. Hade vi valt att beräkna och sätta in fler punkter hade vi fått en kurva som inte hade varit så kantig. Om vi hade valt att använda riktigt många punkter så skulle kurvan se ut enligt följande figur:

Andragradsfunktion1

Eftersom x2 i funktionsuttrycket har en positiv koefficient (i vår exempelfunktion är koefficienten 1) får kurvan ett minimivärde (här i punkten (0,0)).

Vi fortsätter med en annan funktion:

$$y(x)=-x^{2}$$

Denna funktion liknar den som vi inledde avsnittet med, men om man tittar på hur dess graf ser ut så ser man direkt en tydlig skillnad:

Maximipunkt

Om x2 i funktionsuttrycket har en negativ koefficient (i exemplet är koefficienten -1) blir kurvan en upp-och-ner-vänd version av kurvan i det förra exemplet, och får en maximipunkt (här i punkten (0,0)).

Alla andragradsfunktioner har formen av en parabel. Men parablarnas "bredder" och placeringar i koordinatsystemet skiljer dem åt.


Exempel på andragradsfunktioner

$$y(x)=3x^{2}+1$$

$$y(x)=2x^{2}+4x$$

$$y(x)=x^{2}+4x-8$$

$$y(x)=-x^{2}+x+6$$


Vi har tidigare sett att en andragradsekvation har antingen två rötter, en rot eller ingen reell rot alls. Detta blir förtydligat när vi nu även kan studera funktionerna grafiskt.

I en vanlig andragradsfunktion med två nollställen kan vi ofta tydligt se nollställena, alltså de punkter där kurvan skär x-axeln (där y=0). Det är dessa x-värden som vi räknar ut när vi löser en andragradsekvation.


Ett exempel på en sådan andragradsekvation

$$x^{2}-6x+5=0$$

Denna typ av andragradsekvation kan vi lösa med pq-formeln:

$$p=-6$$

$$q=5$$

$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$

$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$

$$x_{1}=5 \: och \: x_{2}=1$$

Motsvarande andragradsfunktion skrivs

$$y(x)=x^{2}-6x+5$$

och dess graf ser ut så här:

Andragradsekvation

Om vi studerar denna graf ser vi att funktionens nollställen (alltså där y(x)=0) finns vid just de x-värden som utgjorde lösningar på andragradsekvationen.


Vi kan även se om en funktion bara har ett nollställe

$$y(x)=x^{2}-2x+1$$

Denna funktions graf ser ut så här:

en rot

Kurvan ser ut att tangera x-axeln, så att bara finns en punkt på kurvan där y=0 och denna punkt ser ut att vara x=1. Detta kan vi kontrollera genom att lösa motsvarande andragradsekvation:

$$ x^{2}-2x+1 = 0$$

Vi löser andragradsekvationen med hjälp av pq-formeln:

$$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-2)}{2} \right )^{2}-1}$$

$$x=1\pm \sqrt{1-1}=1 \pm 0=1$$

Eftersom den enda roten till andragradsekvationen var x=1 kan vi nu konstatera att vi hade rätt i vad vi trodde utifrån vår undersökning av andragradsfunktionens graf. Funktionens enda nollställe finns där x=1.


Slutligen ska vi se hur en andragradsekvation utan rötter ser ut grafiskt

$$x^{2}-2x+2=0$$

Försöker vi att lösa denna ekvation med pq-formeln, då blir uträkningen så här:

$$p=-2$$

$$q=2$$

$$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-2)}{2} \right )^{2}-2}$$

$$x=1\pm \sqrt{1-2}=1\pm \sqrt{-1}$$

Eftersom vi kom fram till ett uttryck för x som innehåller roten ur ett negativt tal, kan vi dra slutsatsen att ekvationen inte har någon reell lösning.

Motsvarande andragradsfunktion ser ut så här:

$$y(x)=x^{2}-2x+2 $$

Grafen till denna funktion, som vi kan se här nedan, är intressant, eftersom denna andragradsfunktion inte har några nollställen (det finns inget x-värde som kan väljas så att y(x)=0) - kurvan skär aldrig x-axeln, utan håller sig hela tiden över x-axeln.

Andragradsekvationer


Videolektioner

Här indroducerar vi andragradsfunktioner.

Här går vi igenom begreppen vertex och symmetrilinje.

Här går vi igenom nollställen och skärningar av y-axeln.

Här går vi igenom största och minsta värde för en andragradsfunktion.

En liten minnesregel för hur andragradsfunktioner ser ut.

Har du en fråga du vill ställa om Andragradsfunktioner? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se