Avsaknad av q-värde

Vi har tidigare sett hur man hittar lösningar på fullständiga andragradsekvationer och hur man enklare kan hitta lösningar på sådana andragradsekvationer som saknar p-värde.

I det här avsnittet ska vi repetera en metod som kan användas för att enklare hitta lösningar i de fall då andragradsekvationen saknar q-värde (det vill säga när q är lika med noll). Vi har tidigare stött på denna metod, som kallas nollproduktmetoden.

Här är ett exempel på en andragradsekvation som saknar q-värde:

$$x^{2}+4x=0$$

Ett annat sätt att skriva denna ekvation är

$$x^{2}+4x+0=0$$

men på samma sätt som vi såg tidigare i avsnittet om andragradsekvationer som saknar p-värde, låter man vanligtvis bli att skriva ut q-värdet om det är lika med noll.

Först ska vi visa att det går att lösa denna typ av andragradsekvation med hjälp av pq-formeln:

$$p=4 \\q=0$$

$$x=-\frac{4}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{4}{2} \right )^{2}-0}$$

$$x=-2\pm \sqrt{4}$$

$$x=-2\pm 2$$

$$x_{1}=0 \: och \: x_{2}=-4$$

Men vi ska också lösa ekvationen på ett snabbare sätt. Vi börjar med att faktorisera ekvationens VL och bryta ut x:

$$x^{2}+4x=x(x+4)=0$$

Nu har vi två faktorer vars produkt som ska vara lika med noll. Vi vet att om en av dessa faktorer är noll, så kommer VL = 0 = HL:

$$x\cdot (x+4)=0$$

Den första roten till ekvationen är därför x=0:

$$0\cdot (0+4)=0\cdot 4=0$$

Den andra roten får vi om vi tänker att den andra faktorn ska vara noll. Den andra faktorn är:

$$(x+4)$$

Vi får alltså som en liten mini-ekvation som vi ska lösa:

$$(x+4)=0\Rightarrow x=-4$$

Den andra roten till ekvationen är därför x=-4:

$$-4\cdot (-4+4)=-4\cdot 0=0$$

De båda rötterna är nu funna och ekvationen är löst. Vi kan kontrollräkna våra lösningar genom att testa att sätta in de båda rötterna var för sig i ursprungsekvationen:

$$x_{1}=0$$

$$0^{2}+4\cdot 0=0$$

$$x_{2}=-4$$

$$(-4)^{2}+4\cdot (-4)=16-16=0$$

Låt oss räkna ytterligare ett exempel, denna gång med utgångspunkt i en tredjegradsekvation:

$$x^{3}-6x^{2}+5x=0$$

Hur kan vi lösa denna ekvation? Vi kan direkt se att VL består av termer som alla innehåller x, vilket betyder att vi kan faktorisera uttrycket i VL och bryta ut x:

$$x^{3}-6x^{2}+5x=0 \Rightarrow$$

$$x(x^{2}-6x+5)=0$$

Nu kan vi direkt, genom den första faktorn är x, se att den första roten är

$$x_{1}=0$$

Den andra faktorn är

$$(x^{2}-6x+5)$$

Vi skapar en "mini-ekvation" och löser ut de andra två rötterna genom pq-formeln:

$$x^{2}-6x+5=0$$

$$p=-6$$

$$q=5$$

$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$

$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$

$$x_{2}=1 \: och \: x_{3}=5$$

Just den här tredjegradsekvationen var ett specialfall, som vi kunde lösa med hjälp av faktorisering och pq-formeln. Dessa metoder kan dock vara användbara att ha i minnet om man stöter på ekvationer av högre gradtal.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.