Cirkelns ekvation

I de föregående avsnitten har vi använt trigonometriska funktioner och undersökt hur enhetscirkeln kan användas för att underlätta lösningen av trigonometriska ekvationer.

I det här avsnittet ska vi titta närmare på hur man kan beskriva cirklar matematiskt även utan att uttryckligen att använda trigonometriska funktioner och vinklar.

Enhetscirkeln, som vi stött på tidigare, har sin medelpunkt i origo (x=0, y=0). Om vi tänker oss cirklar mer generellt så behöver de ju inte ha sin medelpunkt i origo, utan kan ha medelpunkten i en godtycklig punkt (x0, y0).

Enhetscirkeln är också speciell på så sätt att längden på cirkelns radie är lika med 1 (r=1), men cirklar generellt sett kan givetvis ha radier av olika längd. Själva cirkeln utgörs av alla de punkter som ligger på precis radiens avstånd från cirkelns medelpunkt.

Om vi tänker oss en cirkel med medelpunkten i origo, så kan man beskriva var en punkt på cirkelns periferi ligger med hjälp av en rätvinklig triangel, där hypotenusan utgörs av cirkelns radie (r) och de båda kateterna är förskjutningen horisontellt (x) och vertikalt (y) från origo. Med Pythagoras sats får vi följande samband mellan hypotenusan och kateterna:

$$x^{2}+y^{2}=r^{2}$$

Uttrycket ovan gäller alltså om cirkeln har medelpunkten i origo.

Om cirkeln har medelpunkten i en punkt (x0, y0), så kan man skriva det generella sambandet som

$$(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}=r^{2}$$

Har vi till exempel en cirkel med radien 3 och vars medelpunkt ligger i (1, 2), då blir sambandet för just denna cirkel

$$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=3^{2} $$

Videolektioner

Här går vi igenom cirkelns ekvation.

Hur man bestämmer cirkelns ekvation och hur man avgör om en punkt ligger i cikelns periferi eller inte.

Har du en fråga du vill ställa om Cirkelns ekvation? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se