Additionssatsen för sinus

1. Beräkna \(\cos u\), \(\sin u\), \(\cos v\) och \(\sin v\) exakt.

2. Beräkna \(\sin(u+v)\) exakt.

Lösningsförslag:

Först måste vi räkna ut \(a\) och \(b\). Det görs med hjälp av Pythagoras sats:

$$\begin{align} a^2+1^2 & =\left(\sqrt{5}\right)^2 \\ a^2 &=  5-1\\ a & = 2\end{align}$$

$$\begin{align} b^2+1^2 & =\left(\sqrt{10}\right)^2 \\ b^2 &=  10-1\\ b & = 3\end{align}$$

Med hjälp av trigonometriska samband kan vi nu räkna ut \(\cos u\), \(\sin u\), \(\cos v\) och \(\sin v\):

$$\begin{align} & \cos u = \frac{2}{\sqrt{5}}\\ & \sin u = \frac{1}{\sqrt{5}} \\ & \cos v = \frac{3}{\sqrt{10}} \\ & \sin v = \frac{1}{\sqrt{10}} \end{align}$$

2. För att lösa denna uppgift måste vi använda oss av additionsformeln för sinus:

$$\begin{align}\sin(u+v) & = \sin u \cdot \cos v+\cos u \cdot \sin v\\ & = \frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} \\ & = \frac{3}{\sqrt{50}}+\frac{2}{\sqrt{50}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{50}} \\ & = \frac{5}{\sqrt{25}\cdot\sqrt{2}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}$$