Area & Cosinussatsen

Triangeln nedan har hörnen \(A=(1,1)\), \(B=(5,3)\) och \(C=(2,4)\).

1. Bestäm längden på triangelns sidor \(a\), \(b\) och \(c\).

2. Beräkna vinkeln vid punkten A.

3. Beräkna triangelns area.

Lösningsförslag:

1. Vi använder oss av avståndsformeln för att beräkna längden, \(d\), på sidorna:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

Det ger:

$$\begin{align} a & = \sqrt{(2-5)^2+(4-3)^2}=\sqrt{(-3)^2+(1)^2}=\sqrt{10}\\ b & = \sqrt{(2-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{(1)^2+(3)^2}=\sqrt{10}\\ c & = \sqrt{(5-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{(4)^2+(2)^2}=\sqrt{20}\end{align}$$

2.Vi beräknar vinkeln vid \(A\) (com vi kallar \(v\)) med hjälp av cosinussatsen:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(v)$$

Det ger:

$$\begin{align}(\sqrt{10})^2= & (\sqrt{10})^2+(\sqrt{20})^2-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos(v) \\ 10 = & 10+20-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos(v)\\ 10 = & 30-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos(v)\\ 10-30 = & -2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\cos(v)\\ \frac{-20}{-2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}} = & \cos(v)\\ v= & \arccos \left( \frac{20}{2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}}\right) \\ v=& 45^{\circ} \end{align}$$

3. Arean på triangeln beräknar vi med hjälp av areasatsen:

$$area=\frac{a\cdot c \sin(v)}{2}$$

Det ger:

$$\begin{align}area= & \frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\sin(45)}{2}\\ =&\frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{20}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}\\ =& \frac{\sqrt{\frac{200}{2}}}{2}\\ =& \frac{10}{2}\\=& 5\end{align}$$