Derivatan av y = tan^(-1) x

Beräkna derivatan y'(x) då

$$\\y(x) = tan^{-1}\,x\\$$

Lösningsförslag:

$$\\y=tan^{-1}\,x\Rightarrow tan\,y=x\\$$

Derivera med avseende på x:

$$\\\frac{d}{dx}tan\,y=\frac{d}{dx}x\\\\\frac{d}{dx}tan\,y=1\\$$

Genom att sätta u = tan y kan vi beräkna derivatan med hjälp av kedjeregeln:

$$\\\frac{d}{dx}u(y(x))=1\\\\u'(y(x))\cdot y'(x)=1\\$$

$$\\u'(y)=\frac{d}{dy}u=\frac{d}{dy}tan\,y=\frac{d}{dy}\frac{sin\,y}{cos\,y}\\\\\left \{ kvotregeln \right \}\\\\\frac{cos\,y\cdot cos\,y-(-sin\,y)\cdot sin\,y}{(cos\,y)^{2}}=\\\\\frac{(cos\,y)^{2}+(sin\,y)^{2}}{(cos\,y)^{2}}=\\\\1+\frac{(sin\,y)^{2}}{(cos\,y)^{2}}=\\\\1+\left ( \frac{sin\,y}{cos\,y} \right )^{2}\\\\1+(tan\,y)^{2}\\\\1+tan^{2}\,y\\$$

Vi sätter nu in detta samband i det tidigare uttrycket:

$$\\(1+tan^{2}\,y)\cdot y'(x)=1\\\\y'(x)=\frac{1}{1+tan^{2}\,y}\\\\\left \{ tan\,y=x \right \}\\\\y'(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\\$$