Härled kvotregeln

Härled kvotregeln:

$$\begin{align}y(x) & =\frac{f(x)}{g(x)} \\ & \\ y'(x) & =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}\end{align}$$

utifrån derivatans definition:

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Lösningsförslag:

Bilda först de två följande differenser nedan. Differenserna skapas eftersom vi kommer använda oss av dem i vår härledning.

$$\begin{align} \Delta _{h}f(x) & =f(x+h)-f(x)\\ \Delta_{h}g(x)&=g(x+h)-g(x)\end{align}$$

Vi får då följande uttryck för derivatan:

$$\begin{align}f'(x) & =\lim_{h\to 0}\frac{\Delta_{h} f(x)}{h}\\ g'(x) & =\lim_{h \to 0}\frac{\Delta_{h}g(x)}{h}\end{align}$$

$$\begin{align} y'(x) & =\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}\\ & =\lim_{h\to 0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h} \\ & =\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)}{hg(x+h)}-\frac{f(x)}{hg(x)}\end{align}$$

Vi kan skriva om ovanstående uttryck för derivatan med hjälp av de definierade differenserna \(\Delta_{h}f(x)\) och \(\Delta_{h}g(x)\).

$$y'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x)+\Delta_{h}f(x)}{h(g(x)+\Delta_{h}g(x))}-\frac{f(x)}{hg(x)}$$

Skriv om uttrycket med gemensam nämnare:

$$\begin{align}y'(x)= & \lim_{h\to 0}\frac{f(x)g(x)+\Delta_{h}f(x)g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta_{h}g(x)}{h((g(x))^{2}+g(x)\Delta_{h}g(x))} \\ = & \lim_{h\to 0} \left( \frac{\Delta_{h}f(x)}{h}g(x)-f(x)\frac{\Delta_{h}g(x)}{h} \right)\cdot \frac{1}{(g(x))^{2}+g(x)\Delta_{h}g(x))}\end{align}$$

Eftersom:

$$ \lim_{h\to 0}\Delta_{h}g(x)=\lim_{h\to 0} g(x+h)-g(x)=g(x+0)-g(x)=0$$

så får vi att den andra faktorn går mot:

$$\frac{1}{(g(x))^{2}} \qquad \text{då h går mot noll}$$

Detta ger slutligen:

$$\begin{align}y'(x) & =\lim_{h\to 0}\left( \frac{\Delta_{h}f(x)}{h}g(x)-f(x)\frac{\Delta_{h}g(x)}{h} \right )\cdot \frac{1}{(g(x))^{2}} \\ & =\left( f'(x)g(x)-f(x)g'(x) \right)\cdot \frac{1}{(g(x))^{2}} \\ & =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}\end{align}$$

V.S.V.