Optimering

Låt \(f(x)=(2x^2+5x+4)e^{-x}\). Bestäm alla lokala extremvärden till funktionen.

Lösningsförslag:

Vi börjar med att räkna ut lokala extremvärden. Ett extremvärde är det värde som funktionen antar i en extrempunkt, alltså \(y\)-värdet i extrempunkten. För att få fram detta värde behöver vi först derivera funktionen \(f(x)=(2x^2+5x+4)e^{-x}\). Vi använder oss av produktregeln och förenklar sedan derivatan:

$$\begin{align} f'(x)= & (4x+5)e^{-x}+(2x^2+5x+4)(-e^{-x}) \\ = & e^{-x}(4x+5-(2x^2+5x+4)) \\ = & e^{-x}(4x+5-2x^2-5x-4) \\ = & e^{-x}(-2x^2-x+1) \\ = & -2e^{-x}\left(x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right) \end{align}$$

Vi sätter \(f'(x)=0\) för att få fram \(x\)-värdena i extrempunkterna:

$$-2e^{-x}\left(x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\right)=0$$

Här räcker det att lösa:

$$x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}=0$$

eftersom \(-2e^{-x}\) aldrig kan bli noll. Vi använder pq-formeln:

$$\begin{align}x = & -\frac{1}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{2}} \\ = & -\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{1}{2}} \\ = & -\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{8}{16}} \\ = & -\frac{1}{4}\pm\sqrt{\frac{9}{16}} \\ = & -\frac{1}{4}\pm\frac{3}{4}\end{align}$$

Vi får alltså två lösningar:

$$\begin{align} x_1 & = \frac{1}{2}\\ x_2 & = -1 \end{align}$$

Dessa värden måste vi stoppa in i funktionen för att få fram extremvärdena.

$$\begin{align}f(x_1) = & f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(2\left(\frac{1}{2}\right)^2+5\left(\frac{1}{2}\right)+4\right)e^{-\frac{1}{2}} = 7e^{-\frac{1}{2}} \\ f(x_2) = & f(-1) = (2(-1)^2+5(-1)+4)e^{-(-1)} = e \end{align}$$

Vi har alltså hittat två lokala extremvärden \(7e^{-\frac{1}{2}}\) och \(e\).