Primitiva Funktioner

Bestäm en primitiv funktion till:

1. \(f(x)=4e^{2x}+e^{-x}\), sådan att \(F(0)=2\)

2. \(f(x)=4\cdot\sin(2x)+\cos(x)\), sådan att \(F(\pi)=3\)

Lösningsförslag:

1.

I Matte 3 gick vi igenom hur vi hittar en primitiv funktion. Vi använder oss av det och beräknar följande primitiva funktion:

$$\begin{align}F(x) & =4\cdot\frac{1}{2}e^{2x}+(-1)e^{-x}+C \\ & = 2e^{2x}-e^{-x}+C \end{align}$$

Termen \(C\) är en konstant som läggs på den primitiva funktionen för att ge alla lösningar till den primitiva funktionen. I frågan fick vi även ett villkor, nämligen att \(F(0)=2\), som gör att vi kan bestämma konstanten \(C\). Vi stoppar in värdena för villkoret och får:

$$F(0) = 2e^{2\cdot0}-e^{-0}+C=2$$

Det ger:

$$\begin{align} 2e^{0}-e^{0}+C & = 2 \\ 2\cdot1-1+C & = 2 \\ 1+C & = 2 \\ C & = 1\end{align}$$

Den primitiva funktionen är alltså:

$$F(x)=2e^{2x}-e^{-x}+1$$

2.

I Matte 4 gick vi igenom hur vi hittar en primitiv funktion till en funktion som innehåller trigonometriska uttryck. Vi använder oss av det och beräknar följande primitiva funktion:

$$\begin{align}F(x) = & 4\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot\cos(2x)\right)+\sin(x)+C \\ = & -2 \cdot\cos(2x)+\sin(x)+C \end{align}$$

Även här fick vi ett villkor \(F(\pi)=3\), som hjälper oss att hitta konstanten \(C\). Vi stoppar in villkoret i funktionen och får följande:

$$F(\pi)=-2 \cdot\cos(2\pi)+\sin(\pi)+C=3$$

Det ger:

$$\begin{align}-2 \cdot\cos(2\pi)+\sin(\pi)+C & = 3\\ -2\cdot1+0+C & = 3 \\-2 +C & = 3 \\ C & = 5 \end{align}$$

Den primitiva funktionen är alltså:

$$F(x)=-2 \cdot\cos(2x)+\sin(x)+5$$