Trigonometriska Identiteter

1. Visa att följande trigonometriska ekvationen gäller:

$$1+\tan^2(v)=\frac{1}{\cos^2(v)}$$

2. Bestäm konstanterna \(A\), \(B\) och \(C\), så at formeln

$$(3\cdot\sin (x)+2\cdot\cos(x))^2=A+B\cdot\sin(2x)+C\cdot\cos^2(x)$$

gäller för alla \(x\).

Lösningsförslag:

1.

Vi börjar med att utveckla vänsterledet:

$$\begin{align}1+\tan^2(v) & =1+\left (\frac{\sin(v)}{\cos(v)} \right )^{2}\\ & =1+\frac{\sin^{2}(v)}{\cos^{2}(v)} \\ & =\frac{\cos^{2}(v)}{\cos^{2}(v)}+\frac{\sin^{2}(v)}{\cos^{2}(v)}\\ &=\frac{\cos^{2}(v)+\sin^{2}(v)}{\cos^{2}(v)}\\ &=\frac{1}{\cos^{2}(v)}\end{align}$$

2.

$$(3\sin(x)+2\cos(x))^{2}=A+B \sin(2x)+C\cos^{2}(x)$$

Vi utvecklar vänsterledet:

$$\begin{align} & (3\sin(x)+2\cos(x))^{2} \\ &= 9\sin^{2}(x)+2\cdot 3\cdot 2\cdot \sin(x)\cos(x)+4\cos^{2}(x)\\&= 9(1-\cos^{2}(x))+6\sin(2x)+4\cos^{2}(x)\\&= 9-9\cos^{2}(x)+6\sin(2x)+4\cos^{2}(x)\\&= 9+6\sin(2x)+-5\cos^{2}(x)\end{align}$$

Detta ger att \(A = 9\), \(B = 6\) och \(C = -5\).