Enhetscirkeln och perioder

I det förra avsnittet repeterade vi de grundläggande trigonometriska sambanden och såg att det för vissa vinkelstorlekar finns exakta trigonometriska värden. I Matte 3-kursen har vi tidigare stött på enhetscirkeln, som vi kan använda för att analysera sambanden mellan vinklar och trigonometriska värden.

Det här avsnittet innebär en repetition av enhetscirkeln och även en bekantskap med begreppet period, som kommer att återkomma mycket när vi har att göra med trigonometriska värden.

Enhetscirkeln

När vi tidigare studerade de grundläggande trigonometriska sambanden utgick vi från rätvinkliga trianglar, där storleken på de spetsiga vinklarna måste ligga i intervallet 0° ≤ v ≤ 90°. I och med användningen av enhetscirkeln har vi expanderat definitionerna av de trigonometriska sambanden till att gälla godtyckligt stora vinklar, till exempel vinklar som är större än 90° eller mindre än 0° (negativa vinkelstorlekar).

Enhetscirkeln är centrerad i origo (0, 0) och varje punkt på cirkelns periferi ligger på avståndet 1 längdenhet från cirkelns mittpunkt (cirkelns radie är alltså lika med 1 längdenhet).

Varje punkt på cirkelns periferi kan skrivas P = (x, y), där punktens x- och y-koordinater beror på vinkeln v. Punktens x-koordinat är lika med cos v, det vill säga x = cos v, och punktens y-koordinat är lika med sin v, det vill säga y = sin v. Därför kan vi även skriva en godtycklig punkt på cirkelns periferi som P = (cos v, sin v). 

För enhetscirkeln så delar vi även in de olika områdena indelade av x- och y-axeln i fyra olika kvadranter. Vi illustrerar detta i denna bild nedan.

Perioder

Eftersom vinkeln v i enhetscirkeln får vara godtyckligt stor, kan denna vinkel anta värden som är större än 90° eller mindre än 0°. Som vi nämnde ovan kan en punkt på cirkelns periferi skrivas som P₁ = (cos v, sin v). Om vi låter storleken på vinkeln v öka med 360° (ett helt varv), då kommer punkten P₂ = (cos (v + 360°), sin (v + 360°)) att sammanfalla med punkten P₁, det vill säga P₁ = P₂.

På motsvarande sätt kommer godtyckliga vinklar

$$v+n\cdot {360}^{\circ}$$

där n är ett heltal, att resultera i att vi återkommer till samma punkt på enhetscirkelns periferi.

Detta innebär att de trigonometriska värdena för sin v och cos v kommer att ha perioden 360°, med vilket vi menar att de trigonometriska värdena uppkommer för en godtycklig vinkel v ± ett godtyckligt antal varv n i enhetscirkeln. Vi har därför följande samband i enhetscirkeln:

$$\sin\,v=\sin\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

$$\cos\,v=\cos\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

där n är ett heltal.

Till skillnad från sin v och cos v har tan v perioden 180° (ett halvt varv i enhetscirkeln). Detta beror på definitionen av tangens, som utifrån en punkt P = (x, y) = (cos v, sin v) på enhetscirkelns periferi innebär att

$$\tan\,v=\frac{y}{x}=\frac{\sin\,v}{\cos\,v}$$

Om vi undersöker perioden för detta trigonometriska värde kan vi komma fram till följande samband:

$$\tan\,v=\tan\,(v+n\cdot {180}^{\circ})$$

där v ≠ 90° och n är ett heltal. (Tangens är ej definierad för \(90°+n\cdot {180}^{\circ}\) eftersom detta är de vinklar som ger \(\cos (v) = 0\) och vi får inte dela med 0)

Låt oss titta på några exempel där vi använder de trigonometriska värdenas period för att lösa trigonometriska ekvationer.

Lös ekvationen

$$y=\sin\,{420}^{\circ}$$

Eftersom vi vet att sin v har perioden 360° vet vi att vi kan skriva sin 420° som

$$\sin\,{420}^{\circ}=\sin\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

Då vinkeln 420° är större än 360°, så subtraherar vi vinkeln denna med 360° för att få storleken på vinkeln v, vilket ju ska ge oss samma trigonometriska värde för sinus:

$${420}^{\circ}-{360}^{\circ}={60}^{\circ}$$

så v = 60°.

Nu har vi kommit fram till att följande samband gäller:

$$\sin\,{420}^{\circ}=\sin\,{60}^{\circ}$$

sin 60° har ett exakt värde, som vi härledde i det föregående avsnittet. Därför får vi följande lösning på ekvationen:

$$y=\sin\,{420}^{\circ}=\sin\,{60}^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Här kommer ett till exempel

Lös ekvationen

$$x=\cos\,{720}^{\circ}$$

Vi vet att cos v har perioden 360°, så vi kan skriva cos 720° som

$$\cos\,{720}^{\circ}=\cos\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

Om vi låter n = 2 får vi

$$\cos\,{720}^{\circ}=\cos\,(v+2\cdot {360}^{\circ})=$$

$$=\cos\,(v+{720}^{\circ})$$

så v = 0°.

Därför får vi

$$\cos\,{720}^{\circ}=\cos\,{0}^{\circ}$$

cos 0° har ett känt exakt värde:

$$\cos\,{0}^{\circ}=1$$

så vi har alltså kommit fram till följande lösning på ekvationen:

$$x=\cos\,{720}^{\circ}=\cos\,{0}^{\circ}=1$$

Ett ytterliggare exempel

Visa att

$$\tan\,({-315}^{\circ})=1$$

då vi vet att

$$\tan\,{45}^{\circ}=1$$

Tangens för en vinkel v har perioden 180°:

$$\tan\,v=\tan\,(v+n\cdot {180}^{\circ})$$

där v ≠ 90 och n är ett heltal.

Därför kan vi skriva tan (-315°) som

$$\tan\,({-315}^{\circ})=\tan\,({45}^{\circ}-{360}^{\circ})=$$

$$=\tan\,({45}^{\circ}+(-2)\cdot {180}^{\circ})=\tan\,{45}^{\circ}=1$$

Vilket vi skulle visa.

Sammanfattning

Sinus och cosinus har en period på 360°, efter det så upprepas värdena. 

Tangens har en period på 180° och är ej definierad för 90°

Nedan har vi en interaktiv enhetscirkel från GeoGebra, testa att dra runt vinkeln för att se hur olika punkter på cirkeln visar värdena för cosinus och sinus av vinkeln.