Integrerande faktor

I Matte 5-kursen lärde vi oss en hel del om differentialekvationer. Det här avsnittet kommer utöka våra kunskaper om differentialekvationer. Vi kommer att lära oss att använda integrerande faktor som lösningsmetod och i nästa avsnitt läser vi om separabla differentialekvationer.

Differentialekvationer

Tidigare har vi lärt oss hur vi löser differentialekvationer på formen \(y’=h(x)\). Detta är ett exempel på en linjär differentialekvation av första ordningen. Att den är av första ordningen betyder att ordningen av den högsta derivatan i ekvationen är 1.

Som vi minns kan vi lösa den här ekvationen direkt genom att ta reda på den primitiva funktionen \(H(x)\) till \(h(x)\), vilket ger att lösningen är följande

$$y=H(x)+C$$

där \(C\) är en konstant som kan bestämmas med hjälp av ett begynnelsevillkor. Ett begynnelsevillkor är ett krav på formen

$$y(a)=b$$

där a och b är konstanter. Begynnelsevillkor tillsätts eftersom vi söker en lösning på differentialekvationen, det vill säga den lösning som går genom punkten (a,b). Om begynnelsevillkor saknas, har differentialekvationen oändligt många lösningar. 

En allmän form av en linjär differentialekvation av första ordningen är

$$y’+g(x)y=f(x)$$

Grundidén till att lösa differentialekvationer som ser ut på detta vis är att skriva om ekvationen så att den liknar ekvationen \(y’=h(x)\). Detta gör vi med hjälp av en integrerande faktor.

Integrerande faktor

Den integrerande faktorn till differentialekvationen

$$y’+g(x)y=f(x)$$

får vi genom att hitta den primitiva funktionen \(G(x)\) till \(g(x)\), och sedan ta \(e^{G(x)}\). Alltså, den integrerande faktorn är \(e^{G(x)}\).

Nästa steg är att vi multiplicerar vänsterledet och högerledet i ekvationen ovan med den integrerande faktorn \(e^{G(x)}\). Då får vi:

$$e^{G(x)}y’+e^{G(x)}g(x)y=e^{G(x)}f(x)$$

Vänsterledet kan vi skriva om som:

$$e^{G(x)}y’+e^{G(x)}g(x)y=(ye^{G(x)})’$$

Detta går eftersom formeln för derivatan av en produkt ger att

$$(ye^{G(x)})’=y’e^{G(x)}+e^{G(x)}g(x)y$$

vilket är detsamma som vänsterledet i ekvationen ovan. Efter att ha skrivit om vänsterledet har vi ekvationen:

$$(ye^{G(x)})’=e^{G(x)}f(x)$$

Nästa steg är att integrera båda sidor:

$$ye^{G(x)}=\int e^{G(x)}f(x) dx + C$$

Löser vi ut \(y\) får vi:

$$\begin{align}y&=\left(\int e^{G(x)}f(x) dx + C\right)e^{-G(x)}\\&=e^{-G(x)} \int e^{G(x)}f(x) dx + e^{-G(x)}C\end{align}$$

Lösningen innehåller en konstant \(C\) som vi kan lösa ut med hjälp av ett begynnelsevillkor.

Istället för att memorera ekvationen ovan rekommenderas det att alltid utföra stegen vi gjorde för att komma fram till ekvationen. Tänk även på att koefficienten framför \(y’\) måste vara 1, vilket är enkelt att fixa med hjälp av division.

Låt oss titta på två exempel.

Exempel 1

I Matte-4 kursen gavs ett exempel på en enkel differentialekvation: 

$$y'(t)=ky(t)$$

Vi ska nu lösa denna ekvation med hjälp av integrerande faktor. Först skriver vi om ekvationen till:

$$y'(t)-ky(t)=0$$

Eftersom \(-kx\) är en primitiv till \(-k\) är den integrerande faktorn \(e^{-kx}\). Multiplikation med den integrerande faktorn ger:

$$e^{-kx}y'(t)-e^{-kx}ky(t)=(e^{-kx}y)'=0$$

Nu integrerar vi och får att:

$$e^{-kx}y(t)=C$$

alltså är \(y(t)=Ce^{kx}\) lösningen till differentialekvationen \(y'(t)=ky(t)\).

Exempel 2

Lös differentialekvationen

$$y’-5xy=3x$$

där \(y(0)=0\).

Eftersom \(\dfrac{-5x^2}{2}\) är en primitiv till \(-5x\), är den integrerande faktorn:

$$e^{\frac{-5x^2}{2}}$$

Multiplicerar vi båda leden med den integrerande faktorn får vi:

$$\begin{align}e^{\frac{-5x^2}{2}}y'-e^{\frac{-5x^2}{2}}5xy&=e^{\frac{-5x^2}{2}}3x\\&\iff\\ (ye^{\frac{-5x^2}{2}})'&=e^{\frac{-5x^2}{2}}3x \end{align}$$

Integrering ger:

$$\begin{align}ye^{\frac{-5x^2}{2}}&=\int e^{\frac{-5x^2}{2}}3x\ dx+C\\ye^{\frac{-5x^2}{2}}&=-\frac{3}{5}e^{\frac{-5x^2}{2}}+C\\y&=-\frac{3}{5}+Ce^{\frac{5x^2}{2}}\end{align}$$

Vi är nästan klara, nu ska vi använda begynnelsevillkoret \(y(0)=0\) vilket ger:

$$y(0)=-\frac{3}{5} +Ce^{\frac{5*0^2}{2}}=-\frac{3}{5} + C = 0$$

Alltså är \(C=0+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5}\).

Så funktionen

$$y(x)=-\frac{3}{5}+\frac{3}{5}e^{\frac{5x^2}{2}}=\frac{3}{5}(e^{\frac{5x^2}{2}}-1)$$

löser differentialekvationen

$$y’-5xy=3x$$

där \(y(0)=0\).