Separabla differentialekvationer

Det förra avsnittet behandlade hur vi kunde lösa differentialekvationer på formen

$$y’+g(x)y=f(x)$$

I det här avsnittet ska vi istället se hur vi löser såkallade separabla differentialekvationer. Det är bra att använda sig av Leibniz notation när vi löser separabla differentialekvationer, vilket kommer framgå senare i avsnittet. 

Separabla differentialekvationer

Som namnet antyder är separabla differentialekvationer ekvationer där vi kan skriva variablerna på varsin sida om likhetstecknet. Allmänt är en differnetialekvation separabel om vi kan skriva den som:

$$g(y)y'=h(x)$$

eller med Leibniz notation:

$$g(y)\frac{dy}{dx}=h(x)$$

Notera att det endast får stå en blandterm som innehåller y och y' i vänsterledet och i högerledet får det endast vara x-termer.

Exempel på en separabel differentialekvation

Ekvationen

$$2yy'=x^2+5$$

är en separabel differentialekvation. Detta eftersom den har formen som är beskriven ovan.

Exempel på en differentialekvation som inte är separabel

Ekvationen

$$y'-y^2=x^2$$

är inte separabel. Om vi flyttar över \(-y^2\) får vi

$$y'=x^2+y^2$$

Högerledet går inte att faktorisera i en produkt som endast innehåller en variabel x och en variabel y, alltså är ekvationen inte separabel.

Lösningsmetod

I princip löser vi en separabel differentialekvation

$$g(y)\frac{dy}{dx}=h(x)$$

genom att hitta de primitiva funktionerna G respektive H. Lite löst kan vi säga att vi löser den givna ekvationen i två steg.

1. Multiplicera båda sidor med \(dx\).
2. Integrera båda sidor.

Alltså:

$$\begin{align}g(y)\frac{dy}{dx}&=h(x)\\&\iff\\g(y)dy&=h(x)dx\\&\iff\\\int g(y)dy&=\int h(x)dx\\&\iff\\G(y)&=H(x)+C\end{align}$$

där C är en konstant. Observera att vi enbart har konstanten C på ena sidan. Detta eftersom om vi hade haft en konstant i vänsterledet kan vi "baka in" den i konstanten i högerledet.

En lösning på formen ovan kallas för en lösning på implicit form. Detta eftersom vi har funktioner på båda sidor.

Ofta nöjer man sig med detta, men ibland löser vi ut \(y\). Då kallas det för en lösning på explicit form.

Exempel

Lös den separabla differentialekvationen

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^4}{y}$$

Lösning:

Observera att \(y\neq 0\), för om \(y=0\) är HL odefinierat.

Vi multiplicerar båda sidor med y och dx:

$$y\ dy=x^4dx$$

Integrering av båda sidor ger

$$\begin{align}\int y\ dy&=\int x^4dx\\&\iff\\\frac{y^2}{2}&=\frac{x^5}{5}+C\end{align}$$

Denna lösning är på implicit form. Vi kan enkelt göra om den till explicit form:

$$y=\pm\sqrt{2\left(\frac{x^5}{5}+C\right)}$$