Vad är logik?
Historiker studerar verkliga händelser som inträffat. De tolkar och argumenterar om sanningshalten i olika påståenden, till exempel att Erik XIV åt en förgiftad ärtsoppa och dog. Fysiker utför experiment för att se om deras hypoteser stämmer, exempelvis kan de testa hur fort ljuset åker i vakum. Matematiker däremot måste hålla sig till språkliga argument. Dessa argument bygger på logiska resonemang.
Logik är i grunden studien om vad som gör vissa argument giltiga eller inte. Inom den klassiska logiken är ett påstående alltid sant eller falskt, detta återkommer vi till i nästa avsnitt. I det här avsnittet ska vi försöka fördjupa oss i vad som menas med "ett logiskt resonemang".
Definition, sats och bevis
Det första matematiker måste göra är att komma överens om vad olika ord betyder. Detta gör vi med hjälp av definitioner. Ett exempel på en definition är
Definition: Ett rationellt tal \(x\) är ett tal som kan skrivas på formen \(x=\dfrac{a}{b}\) där \(a\) och \(b\) är heltal och \(b\neq 0\).
Vi skulle förstås kunna kalla dessa tal för något helt annat, vi behöver inte kalla dem för rationella tal. Definitionen talar om för läsaren precis vad som menas när vi säger "ett rationellt tal", det är det som är syftet med definitioner.
Efter en definition kommer satser. Satser är påståenden och följs av ett argument om varför påståendet stämmer, ett bevis. Här följer ett exempel på en sats, följt av ett bevis.
Exempel
Sats: Om \(x\) och \(y\) är rationella tal är \(xy\) rationellt.
Bevis: Att \(x\) är rationellt innebär att det kan skrivas som \(x=\dfrac{a}{b}\) där \(a,\ b\) är heltal och \(b\neq0\). På samma sätt är \(y=\dfrac{c}{d}\) där \(c,\ d\) är heltal och \(d\neq0\). Vi får:
$$xy=\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$
Eftersom produkten av två heltal är ett heltal, kommer både täljaren och nämnaren vara heltal, dessutom är \(bd\neq 0\). Alltså är \(xy\) rationellt, vilket skulle visas.
Detta är ett exempel på ett logiskt resonemang. Vi drar slutsatsen att \(xy\) är rationellt med hjälp av några, logiska, argument.
Påståendet ovan skulle kunna skrivas om med symboler eller tecken som används flitigt i matematiken. Då hade satsen kunnat se ut såhär istället:
Sats: \(x\in\mathbb{Q},\ y\in\mathbb{Q}\) \(\implies\) \(xy\in\mathbb{Q}\).
Pilen i satsen kallas för implikationspil. Vi ska nu gå igenom lite fler symboler eller tecken och vad de betyder.
Teckenförklaring
Symboler eller tecken spelar en stor roll inom matematiken, utan dessa skulle våra argument vara långa och komplicerade att följa. Först måste vi komma överens om vad de olika symbolerna står för och hur de används.
Inom logiken brukar vi använda oss av bokstäverna \(P\) och \(Q\) när vi pratar om olika påståenden. Satsen i stycket ovan har formen \(P \implies Q\), vilket betyder "Om \(P\) gäller så gäller \(Q\)".
Nedan kommer en tabell där vi skriver några vanliga tecken och vad de betyder.
| Tecken | Förklaring |
| \(\lor\) | eller |
| \(\land\) | och |
| \(\neg\) | icke |
| \(\implies\) | implikationspil |
| \(\iff\) | ekvivalenspil |
| \(\forall\) | för alla |
| \(\exists\) | existerar |
| \(\in\) | i |
Tecknet \(\neg\) är en negation, och om ett påstående är \(P\) utläses \(\neg P\) som "icke-\(P\)". Ett exempel är att om påståendet \(P\) är "\(x<0\)" så är \(\neg P\) negationen till det påståendet, det vill säga "\(x\geq 0\)".
Ett vanligt sätt att arbeta med logiska påståenden är att göra sanningstabeller. Vi kommer nu visa hur en sanningstabell kan se ut med ett exempel.
Exempel
Låt \(P, Q\) vara händelser, i nedanstående tabell betecknar s sant och f falskt.
| \(P\) | \(Q\) | \(P\lor Q\) |
| s | s | s |
| s | f | s |
| f | s | s |
| f | f | f |
Den högra kolumnen utläses "\(P\) eller \(Q\)", och med det menas att antingen måste \(P\) eller \(Q\) vara sant, eller båda.
Övning
Skapa tabellen för \(P\land Q\) och jämför den med tabellen ovan.
Lösning
| \(P\) | \(Q\) | \(P\land Q\) |
| s | s | s |
| s | f | f |
| f | s | f |
| f | f | f |
Notera att "\(P\) och \(Q\)" är sant om och endast om både \(P\) och \(Q\) är sanna.