Teckna en ekvation
I årskurs 7 gick vi igenom hur man tecknar uttryck och i nästa steg även hur man tecknar ekvationer.
I det här avsnittet ska vi teckna ekvationer utifrån olika problem och sedan lösa ekvationerna med hjälp av balansering.
Problemlösning med ekvation
När vi har ett problem kan vi försöka formulera det matematiskt. Ett första steg är då att införa lämpliga variabler, till exempel x, och teckna uttryck. Med hjälp av uttryck kan vi ofta formulera problemet som en ekvation. Ekvationen kan vi sedan försöka att lösa med hjälp av till exempel balansering.
Vi ska nu titta på ett antal exempel på problem, där vi hittar lösningen på problemet genom att vi formulerar problemet matematiskt, tecknar uttryck och en ekvation, och sedan löser ekvationen.
Teckna och lös ekvationen
En rektangel har en sida som har längden 20 cm och dess area är 50 cm\(^2\). Rektangeln har även en sida vars längd vi inte känner till.
Teckna en ekvation som beskriver sambandet mellan längden på rektangelns sidor och dess area.
Ta sedan reda på den okända sidans längd genom att lösa ekvationen.
Lösningsförslag:
I årskurs 7 lärde vi oss att vi kan beräkna en rektangels area med formeln
$$ A=b\cdot h$$
där A är arean, b är basen, eller bredden, och h är höjden.
Vi känner till rektangelns area, som är 50 cm2, och den ena sidans längd, som är 20 cm. Om vi låter den kända sidan vara rektangelns bredd, b, så får vi denna ekvation:
$$ 50=20\cdot h$$
Det här är en ekvation som vi kan lösa, vilket vi ska göra genom balansering. Om vi dividerar båda leden med 20, så får vi variabeln h ensam på den ena sidan:
$$\frac{50}{{\color{Red} {20}}}=\frac{20\cdot h}{{\color{Red} {20}}} $$
$$\frac{5}{2}=h$$
$$h=2,5$$
Rektangelns okända sida måste alltså ha längden 2,5 cm.
Teckna och lös ekvationen
Amanda har varit i livsmedelsaffären och köpte där tre paket apelsinjuice och en limpa. Limpan kostade 12 kr och sammanlagt kostade varorna 54 kr, men Amanda sparade inte kvittot och minns inte vad apelsinjuicen kostade per paket.
Hjälp henne att ta reda på hur mycket juicen kostade per paket genom att teckna en ekvation, som du sedan löser.
Lösningsförslag
Vi vill ta reda på vad apelsinjuicen kostar per paket, så vi kan kalla detta pris x kr.
Det sammanlagda priset på varorna kan vi då teckna följande ekvation för:
$$ 3x+12=54$$
Genom att lösa denna ekvation får vi reda på värdet på x, som ju står för apelsinjuicens pris per paket. Vi löser ekvationen genom att först subtrahera 12 från båda leden och sedan dividera båda leden med 3:
$$3x+12=54$$
$$3x+12\,{\color{Red} {-\,12}}=54\,{\color{Red} {-\,12}}$$
$$3x=42 $$
$$\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}=\frac{42}{{\color{Blue} 3}}$$
$$x=14$$
Apelsinjuicen hade alltså priset 14 kr per paket.
Teckna och lös ekvationen
I en klass är en tredjedel av eleverna pojkar. Det går 9 pojkar i klassen.
Hur många elever går det totalt i klassen? Teckna en ekvation som anger hur många pojkar som går i klassen och lös sedan denna ekvation för att ta reda på hur många elever det finns i klassen.
Lösningsförslag:
Eftersom vi vill veta hur många elever det finns i klassen, betecknar vi antalet elever i klassen med x.
Vi kan nu teckna en ekvation utifrån vad vi vet om pojkarna i klassen. En tredjedel av antalet elever i klassen är pojkar och det är 9 stycken pojkar i klassen:
$$ \frac{x}{3}=9$$
Denna ekvation löser vi för att ta reda på x, antalet elever i klassen. Vi gör detta genom att vi multiplicerar båda leden i ekvationen med 3:
$$\frac{x}{3}=9 $$
$${\color{Blue} {3\,\cdot}}\, \frac{x}{3}={\color{Blue} {3\,\cdot}}\, 9 $$
$$x=27$$
Genom att vi löste ekvationen kom vi fram till att det går 27 elever i klassen.
Videolektioner
Här går vi igenom hur vi kan teckna en ekvation.
I den här videon går vi igenom hur vi tecknar en ekvation.