Uttryck med parenteser
I det här avsnittet ska vi lära oss räkna med uttryck som innehåller parenteser. Vi ska undersöka hur parenteser fungerar tillsammans med de fyra räknesätten och vad som händer med parenteserna när vi förenklar uttryck.
Teckna uttryck med parenteser
Tänk dig att vi har en familj som består av fyra personer, som ska gå på ett biobesök tillsammans. Var och en av familjemedlemmarna ska ha en biobiljett som kostar 100 kr, en påse godis som kostar 20 kr och en dryck som kostar 30 kr.
Vill vi teckna ett uttryck för familjens totala kostnad för biobesöket, kan vi teckna det så här:
$$ 4\cdot 100+4\cdot 30+4\cdot 20$$
Vi kan beräkna värdet av detta uttryck så här:
$$4\cdot 100+4\cdot 30+4\cdot 20=$$
$$=400+120+80=600$$
Biobesöket kostade totalt 600 kr för familjen.
Men att teckna uttrycket på det här sättet kan vara lite krångligt. Vi vet ju att var och en av familjemedlemmarna har samma kostnad för biobesöket (biobiljetten, godispåsen och drycken), så vi kan istället skriva uttryck med hjälp av en parentes, så här:
$$ 4\cdot (100+30+20)$$
När vi ska beräkna ett uttrycks värde ska vi enligt räkneordningen först beräkna värdet av parenteser. Därför beräknar vi värdet av uttrycket så här:
$$4\cdot (100+30+20)=$$
$$=4\cdot 150=600$$
Även när vi tecknade uttrycket på detta sätt kom vi fram till att biobesöket kostade totalt 600 kr för familjen.
På det här sättet kan vi använda parenteser när vi tecknar uttryck.
Beräkna värdet av uttrycken
$$a)\,\,2\cdot10+5 $$
$$b)\,\,2\cdot (10+5)$$
Lösningsförslag
a)
Vi kommer ihåg räkneordningen, som säger oss att vi först beräknar multiplikation och efter det addition. Därför blir värdet av uttrycket det här:
$$ 2\cdot10+5=20+5=25$$
b)
Det här uttrycket är nästan likadant som uttrycket i den förra deluppgiften, men eftersom vi har en parentes i det här uttrycket, måste vi enligt räkneordningen beräkna uttrycket som står inom parentesen först. Sedan multiplicerar vi. Därför blir värdet av uttrycket det här:
$$ 2\cdot (10+5)=2\cdot 15=30$$
Som vi ser fick vi ett annat värde av uttrycket i den här deluppgiften än i den förra. Det beror på parentesen, som ändrade betydelsen av uttrycket.
Borttagande av parenteser
Vi vet nu att parenteser kan ändra betydelsen av ett uttryck. Genom att ett uttryck innehåller en parentes påverkas i vilken ordning uttrycket beräknas.
Om en parentes innehåller en variabel så kan vi inte beräkna klart värdet av uttrycket inom parentesen om vi inte vet variabelns värde. Men vi vill ju ändå kunna förenkla uttrycket så långt som möjligt. Därför behöver vi veta hur vi kan förenkla uttryck som innehåller parenteser - hur vi kan ta bort en parentes.
Vi ska nu undersöka vad som händer när vi adderar respektive subtraherar en parentes för att sedan ta bort parentesen.
Borttagande av parentes vid addition
Låt oss titta på några exempel på hur det kan bli när vi adderar en parentes.
Om vi har ett uttryck med en summa inom parentes, som kan se ut så här
$$ 5+(4+3)$$
så kan vi beräkna värdet av hela uttrycket genom att addera termerna inom parentesen (4 plus 3), och sedan addera den summan med termen som stod utanför parentesen (5). Då får vi den här beräkningen:
$$ 5+(4+3)=5+7=12$$
Det här är samma summa som vi får om vi från början inte hade haft någon parentes i uttrycket:
$$ 5+4+3=12$$
Allmänt gäller att om vi har tre tal a, b och c, så kan vi direkt ta bort parentesen när vi har ett sådant här uttryck:
$$ a+(b+c)=a+b+c$$
Vi kan även ha uttryck med en differens inom parentesen, som kan se ut så här
$$ 5+(4-3)$$
Även i det här fallet kan vi beräkna värdet på uttrycket genom att först beräkna differensen mellan termerna inom parentes (4 minus 3), och sedan addera den med termen som stod utanför parentesen (5). Då får vi den här beräkningen:
$$ 5+(4-3)=5+1=6$$
Det här är samma summa som vi får om vi från början inte hade haft någon parentes i uttrycket:
$$ 5+4-3=6$$
Allmänt gäller att om vi har tre tal a, b och c, så kan vi direkt ta bort parentesen när vi har ett sådant här uttryck:
$$ a+(b-c)=a+b-c$$
Förenkla dessa uttryck
$$a)\,\,2+(x+7)$$
$$b)\,\,2+(x-7)$$
Lösningsförslag
a)
Eftersom vi ska addera en parentes kan vi direkt ta bort parentesen när vi vill förenkla uttrycket:
$$2+(x+7)=$$
$$=2+x+7=$$
$$=x+9$$
b)
Även i detta fall ska vi addera en parentes, så vi kan direkt ta bort parentesen:
$$2+(x-7)=$$
$$=2+x-7=$$
$$=x-5$$
Borttagande av parentes vid subtraktion
Vid addition av en parentes kom vi fram till att vi kan ta bort parentesen direkt. Vid subtraktion av en parentes är det inte lika enkelt, vilket vi snart kommer att märka.
Låt oss titta på några exempel på hur det kan bli när vi subtraherar en parentes.
Om vi har ett uttryck med en summa inom parentes, som kan se ut på detta sätt
$$ 5-(4+3)$$
så kan vi beräkna värdet av hela uttrycket så här:
$$ 5-(4+3)=5-7=-2$$
Om vi försöker att beräkna uttrycket utan parentes på samma sätt som vi gjorde tidigare i det här avsnittet, då får vi inte samma resultat:
$$ 5-4+3=4$$
På samma sätt får vi olika resultat om vi har en differens inom parentesen:
$$ 5-(4-3)=5-1=4$$
är ju inte detsamma som
$$ 5-4-3=-2$$
För att det ska bli rätt resultat när vi subtraherar en parentes, måste vi byta tecken framför varje term inom parentesen när vi tar bort parentesen (det vill säga, byta varje plustecken mot minustecken, och varje minustecken mot plustecken).
Det innebär att vi i våra exempel ovan ska räkna så här:
$$ 5-(4+3)=5-4-3=-2$$
och
$$ 5-(4-3)=5-4+3=4$$
Allmänt gäller att om vi har tre tal a, b och c, så måste vi byta tecken framför varje term inom parentesen när vi tar bort parentesen, när vi har någon av dessa typer av uttryck:
$$ a-(b+c)=a-b-c$$
och
$$ a-(b-c)=a-b+c$$
Förenkla uttrycket
$$ x-(5+x)$$
Uttrycket består av en variabelterm x som vi ska ta minus ett uttryck inom en parentes. Det innebär att vi kan ta bort parentesen om vi samtidigt kommer ihåg att byta tecken framför var och en av termerna som står inom parentesen.
Därför får vi detta när vi förenklar uttrycket:
$$x-(5+x)=$$
$$=x-5-x=$$
$$=-5$$
Förenkla uttrycket
$$ y-(2y-3)$$
Uttrycket består av en variabelterm y som vi ska ta minus ett uttryck inom en parentes. Det innebär att vi kan ta bort parentesen om vi samtidigt kommer ihåg att byta tecken framför var och en av termerna som står inom parentesen.
Därför får vi detta när vi förenklar uttrycket:
$$y-(2y-3)=$$
$$=y-2y+3=$$
$$=-y+3$$
Videolektioner
Här går vi igenom uttryck med parenteser.
I den här videon går vi igenom uttryck med parentes.