Omkrets och area

I det här kapitlet kommer vi att lära oss om samband som gäller för olika geometriska figurer. Inledningsvis kommer vi i det här avsnittet att titta närmare på hur vi kan bestämma omkrets och area för några vanligt förekommande geometriska figurer: rektanglar, trianglar och cirklar.

Omkrets

En figurs omkrets är den sammanlagda längden av de linjer och/eller kurvor som avgränsar figuren.

För fyrhörningar gäller att de alltid har fyra sidor, och om man summerar längden på dessa fyra sidor så får man fyrhörningens omkrets. Nedan ser vi några av de vanligare fyrhörningarna.

Parallellogram

Omkrets _och _area _05

En parallellogram har fyra sidor och dess motstående sidor är parallella.

Rektangel


En rektangel är ett specialfall av en parallellogram, som enbart har räta vinklar. Det innebär att alla rektanglar även är parallellogram.

Kvadrat


Omkrets _och _area _04

En kvadrat är i sin tur ett specialfall av en rektangel, där alla fyra sidorna har samma längd. Det innebär att alla kvadrater är rektanglar, och eftersom alla rektanglar är parallellogram är även alla kvadrater parallellogram.

På liknande sätt som för fyrhörningar har trianglar, som ju alltid har tre sidor, en omkrets som utgörs av summan av längden på dess tre sidor.


Att beräkna en fyrhörnings eller en triangels omkrets är alltså enkelt, om vi känner till längden på dess sidor. Omkretsen för en cirkel är mer komplicerad att komma fram till.

Omkrets _och _area _06

Om vi dividerar en cirkels omkrets med dess diameter kommer vi alltid att få samma förhållande, oavsett hur stor eller liten cirkel vi väljer. Förhållandet blir alltid samma tal, som är ungefär 3,14. Talet kallas för pi och betecknas med symbolen π. Definitionen av pi är alltså:

$$\pi=\frac{omkrets}{diameter}$$

Om cirkelns radie betecknas r, kan sambandet skrivas om till

$$Omkrets=diameter\cdot \pi =2\cdot \pi \cdot r $$

En cirkels omkrets beror därför enbart på cirkelns radie (2π är ett konstant värde).

Area

Area är ett mått på hur stor en yta är. Arean för en kvadrat, rektangel, eller parallellogram följer alla samma areaformel:

$$Arean=basen\cdot höjden$$

vilket vi kan skriva som

$$A=b\cdot h$$

För kvadrater och rektanglar gäller att basen, b, utgör den ena sidan, medan höjden, h, utgör en av de sidor som ligger intill basen. Vanligtvis väljer man basen som den sida som ligger nederst i en kvadrat eller rektangel, horisontellt, och höjden till en av figurens vertikala sidor. För parallellogram gäller att basen är en av figurens sidor och höjden utgörs av det vinkelräta avståndet mellan basen och motstående (parallella) sida.

En rätvinklig triangel har samma form som en rektangel som man har delat längs med diagonalen.

Omkrets _och _area _07

Om man har det i minnet så är det inte jättekonstigt att arean av en triangel är hälften så stor som arean av en rektangel med samma bas och höjd.

Arean för en triangel får man allmänt enligt följande formel:

$$^{A}triangel=\frac{b\cdot h}{2}$$

En liksidig eller likbent triangel följer samma formel. Däremot identifieras höjden enligt följande figur, där linjen som definierar höjden möter basen i en rät vinkel:
Omkrets Area _02

Arean av en cirkel får man genom formeln:

$$^{A}cirkel=\pi \cdot r^{2}$$

Här betecknar vi återigen cirkelns radie med r. Som vi ser i formeln ovan beror en cirkels area enbart på cirkelns radie (π är konstant).

Några saker att tänka på vid areaberäkning

En ytas area mäts alltid i kvadratenheter. Kvadratenheten kan till exempel vara kvadratmeter (motsvarande arean av en kvadrat med sidan en meter, vilket betecknas m2) eller kvadratcentimeter (motsvarande arean av en kvadrat med sidan en centimeter, betecknat cm2).

Eftersom arean är ett mått på en ytas storlek, så är det fullt tillåtet att "klippa ut" och "flytta runt" delar av figuren för att därmed skapa en annan figur för att lättare se och räkna ut arean. Så länge vi inte lägger till eller tar bort någon yta som inte finns med i den ursprungliga figuren, är ytans storlek ju densamma hur vi än "möblerar om" figurens delytor.

Något som är viktigt att tänka på när man räknar med areaenheter är att till exempel 1 m2 inte är samma sak som 10 dm2 eller 100 cm2. 1 m2 är samma sak som 100 dm2 och 10 000 cm2, eftersom 1 m2 = 1 m ∙ 1 m = 10 dm ∙ 10 dm = 100 dm2. På samma sätt är 1 m2 = 1 m ∙ 1 m = 100 cm ∙ 100 cm = 10000 cm2.

Videolektion

Här räknar vi ut arean för en triangel.

Har du en fråga du vill ställa om Omkrets och area? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!