Pythagoras sats

En av de mest kända matematiska satserna är den så kallade Pythagoras sats, som ger oss förhållandet mellan en rätvinklig triangels sidor.

Med hjälp av Pythagoras sats kunde egyptierna bygga pyramiderna.

En rätvinklig triangel består av två kateter och en hypotenusa. De två kateterna möts i en 90° vinkel och hypotenusan är den längsta sidan och är motstående till den räta vinkeln.

pythagoras sats

I varje rätvinklig triangel råder, enligt Pythagoras sats, förhållandet:

$\\a^{2}+b^{2}=c^{2}\\$

Exempel 1

Säg att vi vet att de två kateterna i en rätvinklig triangel är 5 och 7 cm. Hur lång är då hypotenusan?

Om hypotenusan är x cm ger Pythagoras sats att

$\\5^{2}+7^{2}=x^{2}\\ 25+49=x^{2}\\ x^{2}=74\\ x=\pm \sqrt74\\ x=\pm 8,6 \\$

Eftersom en sträcka inte kan vara negativ så får vi vi att hypotenusan är ungefär 8,6 cm.

Exempel 2

Om vi istället har en rätvinklig triangel där vi vet att den ena katetern är 3 cm och där hyptenusan är 5 cm . Då kan vi få fram längden på den andra katetern genom att använda Pythagoras sats. Vi sätter in de värden vi har i formeln och antar att den okända sidan är x cm.

$\\ a^{2}+b^{2}=c{2}\\3^{2}+x^{2}=5^{2}\\ 9+x^{2}=25\\9+x^{2}{\color{Red} \,-\,9}=25{\color{Red} \,-\,9}\\ x^{2}=16\\ x=\pm \sqrt16\\ x=\pm 4 \\$

Eftersom en sträcka inte kan vara så får vi att den andra kateten är 4 cm lång.

Pythagoreiska tripplar

Tre positiva heltal x, y och z som uppfyller Pythagoras sats så att

$\\x^{2}+y^{2}=z^{2}\\$

Kallas för en pythagoreisk trippel.

I exempel 2 här ovanför så såg vi ett exempel på en pythagoreisk trippel eftersom sidorna i triangeln hade längderna 3, 4 och 5cm. 3, 4, 5-triangeln kallas även för den egyptiska triangeln och det sägs att egyptierna använde sig av den för att bedöma om en vinkel var rät eller inte.