Trigonometri

I det förra avsnittet lärde vi oss det mycket viktiga och användbara sambandet som råder mellan de tre sidornas längder i en rätvinklig triangel, vad vi kallar Pythagoras sats . I det här avsnittet ska vi fortsätta att undersöka rätvinkliga trianglar, men denna gång ska vi hitta samband mellan längden på triangelns sidor och dess spetsiga vinklar.

De olika sidorna i en rätvinklig triangel benämns på olika sätt i relation till vinkeln som vi studerar:

Trigonometri _01

I den rätvinkliga triangeln här ovan studerar vi vinkeln v och benämner de olika sidorna i relation till denna vinkel. De två sidorna som möts i en 90° vinkel kallas som bekant för kateter och den längre sidan som ligger mittemot den räta vinkeln kallas för hypotenusa. Den katet som ligger närmast vinkeln v, kallas närliggande katet och den katet som ligger mittemot vinkeln v, kallas för motstående katet. Detta är benämningar vi kommer att använda mycket framöver.

Trigonometriska funktioner

Sinus, cosinus och tangens är trigonometriska funktioner som anger olika kvoter mellan längderna på sidorna i en rätvinklig triangel.

Ett sätt att förstå dessa trigonometriska funktioner är att det för en viss vinkel v grader alltid råder ett visst förhållande mellan den rätvinkliga triangelns sidor - det är detta förhållande man får ut när man beräknar sinus v, cosinus v och tangens v, men vilka sidor förhållandet gäller för skiljer sig åt mellan de olika trigonometriska funktionerna:

$$\sin v=\frac{\it\text{ motstående katet }}{\it\text{ hypotenusa }}$$

$$\cos v=\frac{\it\text{ närliggande katet }}{\it\text{ hypotenusa }}$$

$$\tan v=\frac{\it\text{ motstående katet }}{\it\text{ närliggande katet }}$$

För varje vinkel v finns alltså ett specifikt värde på sinus, cosinus och tangens. Detta värde anger alltså kvoten mellan två av längderna på triangelns sidor - vilka två sidor det rör sig om, det beror på vilken av de tre trigonometriska funktionerna vi använder, enligt formlerna ovan.

Dessa trigonometriska funktioner kan vi använda för att ta reda på den okända längden på en av en rätvinklig triangels sidor, om vi känner till längden på en av de andra sidorna och storleken på en av triangelns spetsiga vinklar.

Det inversa värdet till sinus, cosinus och tangens är storleken på vinkeln v. Inversen till sinus, cosinus och tangens skrivs antingen sin-1, cos-1 och tan-1, eller arcsin, arccos och arctan. Dessa inversa trigonometriska funktioner kan vi alltså använda för att ta reda på hur stor en av de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel är, om vi känner till längden på minst två av triangelns sidor.

De trigonometriska funktionerna sin, cos och tan, liksom de inversa trigonometriska funktionerna arcsin, arccos och arctan, finns alla förprogrammerade i vanliga grafritande miniräknare. Men för att kunna använda dem på ett bra sätt behöver man veta vad de betyder och hur man bör göra för att man ska få ut rätt resultat.

Beräkna en okänd vinkel

Beräkna vinkeln mellan hypotenusan och sidan som är 4 längdenheter lång i följande rätvinkliga triangel:

Trigonometri _02

Vi börjar med att identifiera vinkeln som avses i texten: det är den spetsiga vinkeln till höger i triangeln. Detta innebär att sidan som är 4 längdenheter lång är den närliggande kateten och sidan som är 3 längdenheter lång är den motstående kateten.

Vi testar först att räkna ut vinkeln v med hjälp av cosinus-funktionen. Vi fyller i de värden vi känner till i formeln för cosinus:

$$\cos v=\frac{närliggande\ katet}{hypotenusa}=\frac{4}{5}$$

För att lösa ut vinkeln v så använder vi den inversa funktionen (arccos):

$$v=cos^{-1}\, \left ( \frac{4}{5} \right ) \approx 36,87 ^\circ$$

Alltså vinkeln v, vars cosinus värde är 4/5, är ungefär lika med 36,87 grader.

Nu testar vi att göra samma sak med hjälp av sinus-funktionen. Vi fyller i våra kända värden i formeln för sinus

$$\sin v=\frac{motstående\ katet}{hypotenusa}=\frac{3}{5}$$

och så löser vi ut vinkeln v genom den inversa funktionen (arcsin):

$$v=sin^{-1}\, \left ( \frac{3}{5} \right )\approx 36,87^\circ$$

Alltså vinkeln v, vars sinus värde är 3/5, är ungefär lika med 36,87 grader.

Till sist testar vi att göra samma sak med hjälp av tangens-funktionen:

$$\tan v=\frac{motstående\ katet}{närliggande\ katet}=\frac{3}{4}$$

Vi löser ut vinkeln v genom att använda oss av den inversa funktionen (arctan) och får:

$$v=tan^{-1}\,\left ( \frac{3}{4} \right ) \approx 36,87^\circ$$

Alltså vinkeln v, vars tangens värde är 3/4, är ungefär lika med 36,87 grader.

Som vi kan se så får vi fram samma värde på vinkeln v oavsett vilken av de tre trigonometriska funktionerna vi väljer att använda, vilket är helt i sin ordning.

Beräkna en sidas okända längd

Säg att vi har en rätvinklig triangel med en känd vinkel på 48°, en hypotenusa med längden 5,9 cm och att vi vill beräkna kateternas längder.

Till att börja med bör vi rita upp en figur, så att vi får överblick över triangelns sidor och vinklar, och därigenom minskar risken för att vi ska resonera fel:

Trigonometri _03

Utifrån den kända vinkeln är sidan b den närliggande kateten. Eftersom vi känner till längden på hypotenusan, så använder vi oss av cosinus-funktionen för att bestämma längden på sidan b:

$$\cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}$$

$$5,9\cdot \cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}\cdot 5,9$$

$$5,9\cdot \cos 48^\circ=b$$

$$b\approx3,948\ cm$$

Utifrån vår figur ser vi att sidan a är motstående katet, så vi använder oss av sinus-funktionen för att hitta längden på sidan a (i det här läget hade vi även kunnat använda oss av tangens-funktion, eftersom vi nu känner till längden på den närliggande kateten):

$$\sin 48^\circ=\frac{a}{5,9}$$

$$5,9\cdot \sin 48^\circ=\frac{a}{5,9}\cdot 5,9$$

$$5,9\cdot \sin 48^\circ=a$$

$$a\approx4,385$$

Trigonometri 04

Längderna på de okända sidorna var alltså ungefär 4,4 cm (sidan a) och 3,9 cm (sidan b).

Videolektioner

Här går vi igenom tangens och likformiga trianglar.

Här går vi igenom tangens invers.

Här går vi igenom sinus och cosinus.

Här går vi igenom inversen till sinus och cosinus.

Vi ska beräkna en okänd vinkel på en rätvinklig triangel med hjälp av den inversa funktionen av sinun (arcsin).

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Trigonometri? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!