Trigonometri

De olika sidorna i en rätvinklig triangel benämns med olika namn i förhållande till vinkeln som man studerar

trigonometri

I triangeln här ovanför jämför vi sidorna med vinkel v som finns utritad. De två sidorna som möts i en 90° vinkel kallas för kateter och den längre sidan som är mittemot den räta vinkeln kallas för hypotenusa. Den katet som är närmast vinkeln, v, kallas närliggande katet och den katet som är mittemot vinkeln, v, kallas för motstående katet.

Sinus, cosinus och tangens är trigonometriska funktioner som anger kvoten mellan olika sidor i en rätvinklig triangel:

$\\\sin v=\frac{motst\aa ende\ katet}{hypotenusa}\\\\\\ \cos v=\frac{n\ddot{a}rliggande\ katet}{hypotenusa}\\\\\\ \tan v=\frac{motst\aa ende\ katet}{n\ddot{a}rliggande\ katet} \\$

För varje vinkel v finns ett specifikt värde på sinus, cosinus och tangens.

Det inversa värdet till sinus, cosinus och tangens är storleken på vinkeln v. Inversen till sinus, cosinus och tangens skrivs antingen sin^-1, cos^-1 och tan^-1 eller arcsin, arccos och arctan.

Vinklar

Beräkna vinkeln mellan hypotenusan och sidan som är 4 i följande rätvinkliga triangel:

rät triangel

Vi testar först att räkna ut vinkeln v med cosinus. Vi fyller i de värden vi känner till i formeln för cosinus:

$\\\cos v=\frac{n\ddot{a}rliggande\ katet}{hypotenusa}=\frac{4}{5}\\$

Och för att lösa ut v så tar vi den inversa funktionen till cos v:

$\\v=cos^{-1}\,\frac{4}{5}=36,87 ^\circ\\$

Nu testar vi att göra samma sak med sinus. Vi fyller i våra kända värden i formeln för sinus:

$\\\sin v=\frac{motst\aa ende\ katet}{hypotenusa}=\frac{3}{5}\\$

Och vi löser ut v genom den inversa funktionen:

$\\v=sin^{-1}\, \frac{3}{5}=36,87^\circ\\$

Och till slut testar vi att göra samma sak med tangens

$\\\tan v=\frac{motst\aa ende\ katet}{n\ddot{a}rliggande\ katet}=\frac{3}{4}\\$

Vi löser ut v och får:

$\\v=tan^{-1}\, \frac{3}{4}=36,87^\circ\\$

Som man kan se så får man fram samma värde på vinkeln v oavsett vilken av de tre funktionerna man väljer.

Sidans längd

Säg att vi har en rätvinklig triangel med en vinkel på 48° och en hypotenusa på 5,9 cm och vi vill beräkna kateternas längder.

Till att börja med bör vi rita upp en figur:

Längden på sidan b, som är närstående till vinkeln, får vi fram genom att använda oss av cosinus:

$\\\cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}\\\\ 5,9\cdot \cos 48^\circ=\frac{b}{5,9}\cdot 5,9\\\\ 5,9\cdot \cos 48^\circ=b\\\\ b\approx3,948\ cm \\$

Längden på sidan b, som är närmast vinkeln, får vi fram genom att använda oss av sinus:

$\\\sin 48^\circ=\frac{a}{5,9}\\\\ 5,9\cdot \sin 48^\circ=\frac{a}{5,9}\cdot 5,9\\\\ 5,9\cdot \sin 48^\circ=a\\\\ a\approx4,385 \\$

rätvinklig triangel