Uppgift 1

Vi vet följande om logaritmfunktionen:

$$\ln(1) = 0$$
$$\lim_{x \to 0+} \ln(x) = -\infty$$
$$\lim_{x \to \infty} \ln(x) = \infty$$

På det viset kan vi skissa upp dess graf och vet att punkten vi söker har \(x > 1\). Vi kallar detta \(x\)-värde för \(a\).

Tangenten är en rät linje genom \((a, f(a))\) och kan därmed skrivas på följande form:

$$y - f(a) = k(x-a)$$

I det här fallet vet vi att \(f(a) = \ln(a)\) samt att \(k\) är lutningen, det vill säga derivatan, \(f'(a) = \frac{1}{a}\). Det ger oss:

$$y - \ln(a) = \frac{1}{a}(x-a)$$

$$\Leftrightarrow y = -1 + \frac{x}{a} + \ln(a)$$.

Eftersom \((x,y) = (0,0)\) är en punkt på tangenten kan vi sätta in dessa värden i ovanstående ekvation och får:

$$0 = -1 + \frac{0}{a} + \ln(a) \Leftrightarrow \ln(a) = 1 \Leftrightarrow a = e$$

Eftersom \(f(e) = \ln(e) = 1\) vet vi att tangentens skärningspunkt är \((e,1)\) och rätt svar är alltså \(x = e\).