Uppgift 3
Skissa grafen för
$$f(x)=\frac{e^x}{x^2-9}$$
och ange definitionsmängd, lokala extrempunkter och eventuella asymptoter.
Definitionsmängden är alla \(x\) där, i det här fallet, nämnaren inte är noll, det vill säga \(x^2 - 9 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \pm 3\).
Med hjälp av kvotregeln blir derivatan
$$f'(x) = \frac{-2xe^x + (x^2 - 9)e^x}{(x^2-9)^2} = \frac{e^x(x^2 - 2x - 9)}{(x^2-9)^2}$$
Eftersom funktionen är deriverbar i hela definitionsmängden har vi extrempunkter i stationära punkter, alltså där \(f'(x) = 0\), vilket är där:
$$x^2 - 2x - 9 = 0\Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{10}$$
Notera att \(e^x\) inte är noll för något reellt\(x\).
Med hjälp av teckenstudium (eller genom att kontrollera andraderivatans tecken) ser vi att \(x = 1 - \sqrt{10}\) är en maximipunkt och \(x = 1 + \sqrt{10}\) är en minimipunkt.
Lodräta asymptoter finns i \(x = \pm 3\).
Det finns ingen sned asymptot för \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) eftersom exponentialfunktionen i täljaren växer mycket snabbare än de andra polynomfaktorerna i \(f\). Men vi kan däremot se att
$$\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$$
så \(y=0\) är en horisontell asymptot då \(x \to -\infty\).
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.