Uppgift 1
Ange en ekvation på affin form för det plan som innehåller punkterna $$P: (1,2,0)$$ $$Q: (-1,3,1)$$ $$R: (-1,1,2)$$ och bestäm avståndet från origo till planet.
Planet har en ekvation på formen \(ax + by + cz + d = 0\) för några konstanter \(a,b,c,d\). Sätt in punkterna \((1,2,0)\), \((-1,3,1)\), \((-1,1,2)\) som värden för \(x,y,z\) för att erhålla ekvationssystemet:
$$a + 2b + d = 0$$
$$-a + 3b + c + d = 0$$
$$-a + b + 2c + d = 0$$
Detta är ett överbestämt ekvationssystem, men i detta fall gör det ingenting. Vi kan bestämma en given variabel godtyckligt, här \(b=2\), och lösa ekvationssystemet för att få:
$$a = 3$$
$$b = 2$$
$$c = 4$$
$$d = -7$$
Notera att det också går att beräkna normalvektorn till planet genom kryssprodukten: $$n = PQ \times PR = (-2,1,1) \times (-2, -1, 2) = (3,2,4)$$Detta ger koefficienterna \(a,b,c\). Insättning av någon punkt gör att vi kan lösa ut värdet på \(d\).
Hur som helst blir ekvationen för planet:
$$3x + 2y + 4z - 7 = 0$$
Avståndet till origo \((0,0,0)\) ges av formeln
$$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cy_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$
Här är \((x_0,y_0,z_0) = (0,0,0)\) och resten av koefficienterna är kända:
$$D = \frac{|-7|}{\sqrt{3^2+2^2+4^2}} = \frac{7}{\sqrt{29}}$$
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.