Uppgift 12
Det finns en sats i linjär algebra (som du inte behöver bevisa) som förkunnar att om man bortser från egenvärdet noll så har matriserna \(AA^{T}\) och \(A^{T}A\) samma egenvärden (med samma miltiplicitet). Låt nu $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$
Ange samtliga egenvärden, inklusive multiplicitet, till matrisen
$$A^{T}A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1\\ -1 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1 &0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ -2& 1 & -1 &-1 & 2& -1\\ 1 &0 &0 &1 &-1 &1 \end{pmatrix}$$
Vi använder satsen som beskrivs i uppgiften för att, istället för den stora matrisen \(A^TA\) beräkna egenvärden till
$$AA^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$
$$ = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$$
Vi beräknar dess egenvärden:
$$\det(AA^T - \lambda I) = \left| \begin{array}{cc} 4-\lambda & 2 \\ 2 & 4-\lambda \end{array} \right| $$
$$ = (4-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0$$
Med lösningarna \(\lambda_1 = 6\) och \(\lambda_2 = 2\).
Resterande egenvärden i den större matrisen \(A^TA\) måste vara noll (enligt den angivna satsen).
Med andra ord är egenvärdena till matrisen \(A^TA\):
$$\lambda_1 = 6$$
$$\lambda_2 = 2$$
$$\lambda_3 = 0$$
Det sista egenvärdet har multiplicitet \(4\).
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.