Uppgift 10

Enligt definition har vi att \(f\) är kontinuerlig omm vänster- och högergränsvärde är lika. Det betyder att

$$\lim_{x \to 0+} f(x) = \lim_{x \to 0-} f(x) \Leftrightarrow \lim_{x \to 0+} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0-} kx+m \Leftrightarrow 1 = m$$

Så därmed vet vi att \(m=1\).

Enligt definition har vi att \(f\) är deriverbar omm

$$\lim_{x \to 0+} f'(x) = \lim_{x \to 0-} f'(x) \Leftrightarrow \lim_{x \to 0+} \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0-} k = k$$

Genom att förenkla och sedan använda Maclaurinserierna för \(\cos(x)\) och \(\sin(x)\) får vi:

$$k = \lim_{x \to 0+} \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0+} \left( \frac{\cos(x)}{x} - \frac{\sin(x)}{x^2} \right) = $$

$$ = \lim_{x \to 0+} \left( \frac{1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots}{x} - \frac{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots}{x^2} \right) = $$

$$ = \lim_{x \to 0+} \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{2!} + \frac{x^3}{4!} - ... - \left( \frac{1}{x} - \frac{x}{3!} + \frac{x^3}{5!} - \dots \right) \right) = 0$$

Alla termer med \(x\) i nämnaren går mot noll, och \(\frac{1}{x}\) och \(-\frac{1}{x}\) tar ut varandra. Kvar blir ingenting.

Därmed har vi att \(k=0\) och sedan tidigare \(m=1\), och vi är klara.