Uppgift 17

Vi låter \(a_n = \frac{p}{p^2+n^2}\) och därmed är uppgiften att visa att \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n < \frac{\pi}{2}\). Med \(p=0\) är summan noll och därmed är lösningen trivial.

Därför antar vi att \(p \neq 0\). I så fall är \(a_0 = \frac{p}{p^2} = \frac{1}{p}\) och sedan har vi \(a_0 > a_1 > a_2 > \dots\) eftersom nämnaren blir större och större. Vi säger att \(a_n\) är (strikt) monotont avtagande.

Vi kan illustrera dessa tal som rektanglar där en sida har längden \(1\) och den andra sidan \(a_1, a_2, a_3, \dots\), vilket gör att deras area är \(a_1, a_2, a_3, \dots\). Alla dessa får plats under grafen till funktionen:

$$f(x) = \frac{p}{p^2 + x^2}$$

Därför kan vi säga att arean av rektanglarna är mindre än arean under hela grafen, med andra ord:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p}{p^2 + n^2} < \int_{0}^{\infty} \frac{p}{p^2 + x^2}dx$$

Integralen kan vi beräkna!

$$\int_{0}^{\infty} \frac{p}{p^2 + x^2}dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{p + \frac{x^2}{p}}dx = \frac{1}{p}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{p}\right)^2}dx$$

Gör variabelsubstitutionen \(u = \frac{x}{p}\), \(du = \frac{dx}{p}\):

$$\int_{0}^{\infty} \frac{du}{1+u^2} = \lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} \frac{du}{1+u^2}$$

$$= \lim_{R \to \infty} \left( \arctan(u) \right)_0^R = \lim_{R \to \infty} \left(\arctan(R) - \arctan(0)\right)$$

$$ = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$

Eftersom summan är mindre än integralen kan vi därmed säga att

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{p}{p^2 + n^2} < \frac{\pi}{2} < \infty$$

och därmed konvergerar summan mot något tal. Vi vet inte exakt vad, men det är ett ändligt, reellt tal.