Uppgift 8
Avgör om följande serier konvergerar eller divergerar:
- $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{100}}{1+n\sqrt{n}}$$
- $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{0,001}{1+n+\sqrt{n}}$$
Vi kallar summorna för \(S_a\) och \(S_b\), och vi kan skriva om dem som:
$$S_a = 10^{100} \cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1 + n\sqrt{n}} = 10^{100} \cdot \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$
$$S_b = 0,001 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n + \sqrt{n}} = 0,001 \cdot \sum_{n=1}^{\infty} c_n$$
Konstanterna framför summorna är oväsentlig, det som avgör om summan konvergerar ligger i \(a_n\) respektive \(c_n\).
Vi jämför serien \(a_n\) med p-serien \(b_n = \frac{1}{n^{1,5}}\). Eftersom \(p=1,5>1\) konvergerar summan \(\sum_{n=1}^{\infty}b_n\). Vi använder jämförelsekriteriet:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/(1+n^{1,5})}{1/(n^{1,5})} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1,5}}{1+n^{1,5}} = $$
$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n^{1,5}}} = 1$$
Därmed konvergerar också \(S_a\).
På samma sätt använder vi jämförelsekriteret med den harmoniska serien \(d_n = \frac{1}{n}\).
$$\lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{d_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1/(1+n+\sqrt{n})}{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1+n+\sqrt{n}} = $$
$$ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{n}+1+\frac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{1}{1} = 1$$
Vilket innebär att \(S_b\) divergerar mot oändligheten.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.