Uppgift 14

Ange skärningspunkten mellan linjerna

$$\left\{\begin{matrix} x & = & 1 - 2t\\ y & = & 2 + 3t\\ z &= &3 -4t \end{matrix}\right.$$

och

$$\left\{\begin{matrix} x & = & 1 + 2t \\ y& = & 1 - 2t\\ z & = & 4 + 3t \end{matrix}\right.$$

Bestäm en ekvation på affin form för det plan som innehåller båda linjerna.

 

I skärningspunkten är båda linjernas koordinater lika stora. Vi kan skriva denna likhet på parameterform:

$$\begin{pmatrix}1 - 2t_1 \\ 2 + 3t_1 \\ 3 - 4t_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + 2t_2 \\ 1 - 2t_2 \\ 4 + 3t_2 \end{pmatrix} $$

där \(t_1\) och \(t_2\) är godtyckliga konstanter. Ekvationen är ekvivalent med:

$$\begin{pmatrix}1-1 \\ 2-1 \\ 3 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2t_1 + 2t_2 \\ -3t_1 - 2t_2 \\ 4t_1 + 3t_2 \end{pmatrix} $$

Ur den första raden kan vi sluta oss till att \(t_1 = -t_2\) och insättning i den andra raden ger \(1 = 2t_1 - 3t_1 = -t_1 \Rightarrow t_1 = -1\).

Det innebär då att \(t_2 = 1\). Så skärningspunkten kan vi räkna ut genom att sätta in \(t=1\) i den ena linjen eller \(t=-1\) i den andra. Då får vi:

$$\begin{pmatrix}1-2\cdot(-1) \\ 2+3\cdot(-1) \\ 3 - 4\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}$$

I och med att linjerna skär varandra ligger de också i samma plan. Två vektorer som ligger i planet ges direkt från linjernas parameterform, nämligen \((2,-3,4)\) samt \((2,-2,3)\). Normalvektorn till planet kan då beräknas som kryssprodukten av dessa:

$$n = (2,-3,4) \times (2,-2,3) = (-1, 2, 2)$$

Därmed kan vi skriva planets ekvation som

$$-x + 2y + 2z + d = 0$$

för någon konstant \(d\). För att hitta denna sätter vi in en punkt vi vet finns i planet, till exempel punkten \((1,2,3)\) som finns i den första linjen om \(t=0\).

$$-1 + 2\cdot2 + 2\cdot2 + d = 0 \Leftrightarrow d = -9$$

Slutligen kan vi då skriva planets ekvation på affin form, som:

$$-x + 2y + 2z - 9 = 0$$


Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 14? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se