Matte 5

Här finner du all matematik som hör till gymnasieskolans kurs Matematik 5.

Mängdlära

I kapitlet om mängdlära introducerar vi begreppet mängd och lär oss de grundläggande mängdoperationerna.
Kongruensräkning

I kapitlet om kongruensräkning introducerar vi begreppet kongruens och hur kongruensräkning går till.
Talföljder och bevisteknik

I kapitlet om talföljder och induktionsbevis fördjupar vi oss i talföljder och visar hur vi med hjälp av induktionsbevis kan bevisa påståenden som gäller talföljder och summor. Vi introducerar även talbaser och hur vi kan representera tal på olika sätt och begreppet rekursion och hur vi med rekursiva formler kan ange värdet på element i vissa talföljder.
Kombinatorik

I kapitlet om kombinatorik går vi igenom en del av kombinatorikens grunder i form av multiplikationsprincipen, permutationer och kombinationer.
Differentialekvationer

I kapitlet om differentialekvationer fördjupar vi oss i hur vi kan lösa vissa vanligt förekommande typer av differentialekvationer.

Matte 5 bygger vidare från mest från Matte 3 och 4, men stundtals från Matte 2. Här nedan är de områden som är förkunskaper till Matte 4, titta gärna igenom dessa och repetera.

Delbarhet
Andra talbaser
Logik och bevisteknik
Enhetscirkeln
Upptäcka mönster och samband
Sannolikhetslära
Gränsvärde
Derivata
Integraler

Allmänna kunskaper från tidigare kurser och grundskolan som alltid är bra att hålla koll på:

Grundläggande algebra
Prioritetsordning för räknesätten
Trigonometri
Negativa tal
Faktorisera, förenkla uttryck och ekvationer
Omkrets och area

RSA-kryptering

I många hundra år har vi skickat hemliga meddelanden, vissa har varit så viktiga att de spelat en avgörande roll i politiska maktspel och krig. Vi ska fördjupa oss i sånna hemliga meddelanden, närmare bestämt krypterade meddelanden. Det som gör ett hemligt meddelande till ett krypterat meddelande är att det kodats på något sätt att bli oläsligt av den som inte har nyckeln till att avkoda meddelandet. RSA-kryptering bygger på kongruens och vi behöver därför kongruensräkning som vi lärt oss i denna kurs.

Om RSA- kryptering vore en bakelse som vi skulle baka behöver vi enligt receptet dessa ingredienser:

$x$ – hemligt meddelande
$p, q$ - stora primtal och $n = p\cdot q$
$e$ – del av krypteringen och offentlig nyckel
$d$ – del av dekrypteringen och hemlig nyckel

Så här är våra ingredienser uppbyggda:

Vi säger att vi vill skicka ett meddelande bestående av bokstäver, för att använda RSA-kryptering så måste vi översätta detta till siffror. Vi använder att 00 = mellanslag, 01 = A, 02 = B, 03 = C, osv hela vägen till 29 = Ö
Om vi vill skicka meddelandet ”DU ÄR BÄST” så skulle det i siffror översättas till ”04210028180002281920”. Vi kallar vårt meddelande $x$, som skulle motsvara ” 04210028180002281920”, för att förenkla när vi visar hur vi gör krypteringen och dekrypteringen (avkoda meddelandet).
Vi behöver ett tal $n$ som är den produkt av två stora primtal p,q. Detta är avgörande för hur säker din kryptering är. Det ska vara svårt, om inte omöjligt, att faktorisera $n$ till $p \cdot q$. Helst ska $n$ bestå av 200 siffror. Kvantdatorer som det forskas flitigt om, Nobelpriset 2022 i fysik gick till tre forskare som utvecklat teorier om detta, men i framtiden när vi kan bygga tillräckligt stora och stabila kvantdatorer så kommer dessa kunna knäcka RSA-kryptering enkelt. Än så länge har forskningen inte kommit så långt, så vi kan fortsätta skicka våra hemliga koder och meddelanden.
Nästa steg är att vi behöver välja ett tal $e$, så att talet $e$ och produkten $(p-1)(q-1)$ enbart har 1 som gemensamma delare. (Detta kallas att $e$ och $(p-1)(q-1)$ är relativt prima). Dessutom ska $e$ vara större än 1 och mindre än produkten $(p-1)(q-1)$.
Till slut, behöver vi ett tal $d$, som uppfyller villkoren att $e\cdot d \equiv 1 \pmod{(p-1)(q-1)}$.

Sedan ska vi tillaga denna kryptering:
Den offentliga nyckeln består av $e$ och $n$. Den hemliga nyckeln består av $p,q$ och $d$.

Alltså om vi ska skicka i väg vårt meddelande $x$, så ska mottagaren ha den hemliga nyckeln: $p,q$ och $d$ och vi som skickar ska ha, förutom meddelandet $x$, den offentliga nyckeln: $e$ och $n$.

Det krypterade meddelandet som vi skickar istället för $x$, blir $y$ som beräknas så här

$$y \equiv x^e \pmod{n}$$

När mottagaren får meddelandet y så tar hen sin hemliga nyckel, multiplicerar ihop $p$ och $q$ för att få $n$ och beräknar ut originalmeddelandet $x$ så här

$$x \equiv y^d \pmod{n}$$

Fördelen med RSA-kryptering är att om någon råkar läsa meddelandet $y$, utan tillgång till $p,q,n$ eller $d$ är det väldigt svårt att gissa eller beräkna.

Du kanske är nyfiken, varför funkar detta? Varför får att vi vårt hemliga meddelande är

$x \equiv y^d \pmod{n}$ om $y \equiv x^e \pmod{n}$? Du kan läsa mer om detta och testa fler beräkningar inom RSA-krypering i denna pdf.