Exponentialfunktioner

I det här avsnittet ska vi titta närmare på allmänna exponentialfunktioner och hur vi deriverar dem. En allmän exponentialfunktion skriver vi på följande sätt:

$$f(x)=C\cdot a^x$$

där C och a är konstanter.

Derivatan av f(x)=a^x

För att kunna derivera en allmän exponentialfunktion behöver vi först skriva om funktionen som en potens med basen e, vilket vi lärde oss i förra avsnittet när vi gick igenom den naturliga logaritmen. Då kan vi nämligen använda oss av deriveringsregeln för f(x)=e^kx.

Vi skriver om exponentialfunktionen på följande sätt:

$$f(x)=a^x=e^{\ln a^x}=e^{x \ln a}$$

Nu ser vi att vår funktion har formen f(x)=e^kx, vilket vi i tidigare avsnitt har sett derivatan för. Vi får enligt deriveringsregeln för f(x)=e^kx:

$$f'(x)= \ln a \cdot e^{x \ln a}$$

På samma sätt som vi skrev om talet som en potens med basen e kan vi backa och skriva tillbaka talet i sin ursprungliga form:

$$f'(x)= \ln a \cdot e^{x \ln a}= \ln a \cdot e^{\ln a^x}=\ln a \cdot a^x$$

Vi kan sammanfatta detta och får då deriveringsregeln:

Vi tittar på ett exempel

Beräkna derivatan för \(f(x)=3\cdot 5^x\)

Vi använder oss av regeln och får följande:

$$f'(x)=3\cdot \ln(5) \cdot 5^x$$

Derivatan av f(x)=a^kx

Ovan såg vi hur vi deriverar funktionen f(x)=a^x, vilket är fallet då k=1. Derivatan av exponentialfunktioner som har en annan konstant k i exponenten än 1 tas fram på liknande sätt som ovan. Det första steget är att skriva om funktionen som en potens med basen e:

$$f(x)=a^{kx}=e^{\ln a^{kx}}=e^{kx \ln a}=$$

Enligt deriveringsregeln för f(x)=e^kx får vi:

$$f'(x)= k \cdot \ln a \cdot e^{kx \ln a}$$

Gör vi om talet till sin ursprungliga form får vi:

$$f'(x)= k \cdot \ln a \cdot e^{kx \ln a}= k \cdot \ln a \cdot e^{\ln a^{kx}}=k \cdot \ln a \cdot a^{kx}$$

Detta kan vi sammanfatta till deriveringsregeln:

Exempel 1

Derivera funktionen \(f(x)=3\cdot4^{3x}\)

Vi använder oss av regeln vi precis lärde oss och får följande:

$$f'(x)=3 \cdot 3 \cdot \ln(4) \cdot 4^{3x}=9 \cdot \ln(4)\cdot 4^{3x}$$

Exempel 2

Temperaturen (T) i en ugn ökar enligt funktionen nedan, där x är tiden i minuter. Med hur många grader per minut ökar temperaturen vid tiden 15 minuter?

$$T(x)=120\cdot 1,09^x$$

Lösningsförslag:

Vi ska beräkna hur många grader per minut temperaturen ökar vid tiden 15 minuter, vilket betyder att vi ska beräkna följande:

$$T'(15)$$

Vad vi vill göra är alltså att beräkna funktionens derivata och sedan undersöka derivatans värde då variabeln x (tiden) har värdet 15.

Derivatan av funktionen beräknas med hjälp av deriveringsregeln för f(x)=a^x:

$$T'(x)=120\cdot \ln(1,09) \cdot 1,09^{x}$$

Vi stoppar in x=15 i derivatan och får:

$$T'(15)=120 \cdot \ln(1,09) \cdot 1,09^{15} \approx 37,7$$

Svar: Antalet grader temperaturen ökar per minut vid 15 minuter är 37,7 grader/minut.