Uppgift 14

Funktionen \(f\) ges av \(f(x)=x^3− 3x^2+ 7\)

Använd derivata och bestäm koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter för funktionens graf.

Avgör också, för varje sådan punkt, om det är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Lösningsförslag

Vi har funktionen \(f(x)=x^3− 3x^2+ 7\) och ska hitta koordinaterna för eventuella maximi-, minimi- och terrasspunkter, så vi börjar med att derivera funktionen \(f(x)\)

$$f'(x) = 3x^2-6x$$

För att hitta dessa punkter behöver vi nollställen till derivatan så därför löser vi ekvationen 

$$3x^2-6x=0$$

$$3x(x-2) = 0$$

Vi använder nollproduktsmetoden och får att första lösningen är \(x_1=0\) och vi har kvar

$$x-2=0$$

Så sista lösningen blir \(x_2=2\)

Vi har nu x-värdet för punkterna och kan hitta y-värdet genom att sätta in x i \(f(x)\)

$$f(0)=0-0+7=7$$

$$f(2) = 2^3-3\cdot 2^2 +7 =8-12+7=3$$

Därför har vi punkterna \((0,7)\) och \((2,3)\)

Vi gör nu en tecken tabell för att avgöra vad för punkter de är,

\(x\) -1 0 1 2 3
\(f'(x)\) + 0 - 0 +
\(f(x)\) stigande max minskande min stigande

Beräkningarna vi gör är
$$f'(-1) = 3+6=9$$
$$f'(1) = 3-6=-3$$
$$f(3) = 27-18 =9$$

Svar: Punkten \((0,7)\) är en maximipunkt och punkten \((2,3)\) är en minimipunkt.

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 3c, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 14? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se