Uppgift 27
Wilma har en gammal moped. Bensinförbrukningen för mopeden kan beskrivas med den förenklade modellen \(f (x) = 0,3 + 0,5e^{− 0,76x}\) där \(f (x)\) är bensinförbrukningen i liter/mil och \(x\) är sträckan i mil från start.
Wilma startar med \(4,0\) liter bensin i tanken. Bestäm hur lång sträcka Wilma kan köra som längst innan bensinen tar slut enligt modellen.
Lösningsförslag
Eftersom \(f (x)\) är bensinförbrukningen i liter/mil och \(x\) är sträckan i mil från start och vi söker antal liter bensin som förbrukats behöver vi lösa integralen, där \(a\) motsvarar hur många mil Wilma kan köra
$$\int_0^a 0,3 + 0,5e^{− 0,76x} \: dx =4$$
Vi utvecklar vänsterledet med primitiva funktionen så långt vi kan
$$\left[0,3x+\frac{0,5e^{-0,76x}}{-0,76}\right]_0^a= \left[0,3x-0,657895e^{-0,76x}\right]_0^a=$$
$$=0,3a+0,657895e^{-0,76a}-\left(0-0,657895e^{0}\right)=$$
$$=0,3a+0,657895e^{-0,76a}+0,657895$$
Nu behöver vi lösa ekvationen
$$0,3a+0,657895e^{-0,76a}+0,657895 = 4$$
Vi ritar in det som två grafer i GeoGebra, en för \(g(x)=4\) och en för \(h(a)= 0,3a+0,657895e^{-0,76a}+0,657895\) och får skärningspunkten, det ser ur så här:
Och därför blir \(a\approx 11\)
Svar: Wilma kan köra 8 mil på 4 liter bensin.
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 3c, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här