Uppgift 28
Konstsmeden Suzanna tänker göra smycken av silver och guld. Varje smycke ska bestå av en rektangulär silverplatta och en guldtråd. Guldtråden ska lödas fast 8 mm från silverplattans hörn. Se figur.
Guldtråd är dyr och hon vill därför använda så lite guld som möjligt till smycket. Smycket får inte heller väga för mycket och därför bestämmer Suzanna att en silverplatta ska ha arean 550 mm2.
Bestäm vilken längd guldtråden får om Suzanna använder så lite guldtråd som möjligt till smycket.
Lösningsförslag
Om vi sätter ut att längden på silverplattan är \(x\) och bredden är \(y\) så vet vi att arean, ska vara \(x\cdot y = 550\). Vi ställer upp ett uttryck för längden på guldtråden \(L\) med hjälp av Pythagoras sats:
$$L^2=(x-8-8)^2+y^2$$
VI använder \(x\cdot y = 550\) för att substituera \(y=\frac{550}{x}\) och sätter in det
$$L^2=(x-16)^2+{\left(\frac{550}{x}\right)}^2$$
$$L=\sqrt{(x-16)^2+{\left(\frac{550}{x}\right)}^2}$$
Vi ritar upp denna graf i GeoGebra och eftersom vi vill att den kortaste möjliga guldtråden hittar vi lägsta värdet på grafen av \(L\). Så här ser grafen ut:
Lägsta värdet på grafen är \(22,9899\approx 23\) mm
Svar: 23 mm
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 3c, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här