Faktorisering av polynom

Tidigare har vi stött på metoden faktorisering, som används för att skriva om matematiska uttryck, och i det förra avsnittet använde vi oss av polynommultiplikation för att beräkna produkten av två polynom.

Studera följande exempel på polynommultiplikation:

$$x\cdot(x+4)=0 $$

Vi multiplicerar som vanligt:

$$ x^{2}+4x=0$$

Att faktorisera ett polynomuttryck innebär att vi gör detta omvänt, alltså "åt andra hållet". Genom att identifiera det som är gemensamt för alla termer så kan vi "bryta ut" detta. Vi kan bryta ut hur mycket som helst, så länge som det är gemensamt för alla termer i uttrycket, det vill säga att alla termer är jämnt delbara med det. Detta är alltså vad vi kallar för faktorisering - vi bryter ut en faktor och skriver uttrycket som en produkt.

Det finns flera anledningar till varför man kan vilja faktorisera ett uttryck. En vanlig anledning är att man försöker att hitta en funktions nollställen, vilket kan vara lättare om man har faktoriserat uttrycket, eftersom man då kan använda nollproduktmetoden. En annan vanlig anledning till att man faktoriserar ett uttryck är att man försöker att förenkla ett komplicerat uttryck som till exempel det här:

$$\frac{x^{2}+2x}{x}$$

Vad vi vill göra i det här läget är att skriva om täljaren på något sätt, så att vi kan förkorta båda täljaren och nämnaren. Efter faktorisering, där vi bryter ut faktorn x i täljaren, får vi

$$ \frac{x\cdot(x+2)}{x}$$

Detta uttryck kan sedan förenklas till

$$ x+2$$

eftersom x nu finns som en faktor i täljaren och även i nämnaren.

Vilken faktor som är lämplig att bryta ut ur ett uttryck beror på vad man försöker göra. Om vi till exempel försöker att förenkla ett uttryck där nämnaren är

$$x+1$$

kan det vara en god idé att se om man kan bryta ut en motsvarande faktor ur täljaren.


Det här kan vara lättare att förstå genom följande exempel

$$6x^{2}-x=9 \Rightarrow \left \{ 6x^{2} \: och \: x \: är \: delbara \: med \: x \right \}$$

$$\Rightarrow x(6x-1) = 9$$

$$4x^{2}-2x^{3}=9 \Rightarrow \left \{ 4x^{2} \: och \: 2x^{3} \: är \: delbara \: med \: 2x^{2} \right \}$$

$$\Rightarrow 2x^{2}(2-x)=9$$


När man har ett uttryck som man försöker faktorisera kan det vara bra att komma ihåg några av de räkneregler vi stött på tidigare. Eftersom kvadreringsreglerna och konjugatregeln, som vi repeterade i det förra avsnittet, uttrycker likheter (att vänstra ledet är lika med högra ledet) går att använda i båda riktningar.


Vi avslutar det här avsnittet med ett räkneexempel där vi ser hur vi kan använda en av dessa regler för att faktorisera ett polynomuttryck.

Förenkla uttrycket

$$ \frac{x^{3}-4x}{x+2}$$

Vi faktoriserar täljaren:

$$\frac{x^{3}-4x}{x+2}=$$

$$=\frac{x(x^{2}-4)}{x+2}$$

Här har vi funnit den gemensamma faktorn x i båda termerna i täljaren och därför brutit ut den. Hur kan vi nu komma vidare? Jo, om vi tittar på täljaren så innehåller den faktorn

$$x^{2}-4$$

Om man vill så kan man skriva om denna faktor som

$$x^{2}-2^{2}$$

Vi ser också att nämnaren består i

$$ x+2$$

vilket får oss att fundera på om man inte skulle kunna gå ytterligare ett steg och bryta ut den nyss nämnda faktorn i täljaren, så att den innehåller vad vi har i nämnaren. Mycket riktigt visar det sig att vi med hjälp av konjugatregeln kan skriva om uttrycket så här

$$\frac{x(x^{2}-4)}{x+2}= $$

$$= \frac{x\cdot(x+2)\cdot(x-2)}{x+2}$$

Nu har vi ett uttryck som vi kan förenkla klart. Vi får slutligen

$$\frac{x\cdot(x+2)\cdot(x-2)}{x+2}=$$

$$= x\cdot(x-2)$$


Videolektion

Faktorisering av polynom betyder att man bryter ut faktorer och förenklar uttryck.

Har du en fråga du vill ställa om Faktorisering av polynom? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se