de Moivres formel
I Matte 1-kursen gick vi igenom hur man beräknar potenser av reella tal. I det förra avsnittet såg vi att det är enkelt att multiplicera komplexa tal när de är skrivna i polär form.
I det här avsnittet ska vi titta närmare på hur vi beräknar potenser av komplexa tal, vilket vi enkelt kan göra med hjälp av de Moivres formel. Genom att kunna beräkna potenser av komplexa tal kan vi sedan finna komplexa lösningar av potensekvationer.
Potenser av komplexa tal
Om z är ett komplext tal, så kan vi skriva en potens med detta komplexa tal som bas som
$${z}^{n}$$
där n är ett positivt heltal.
I det förra avsnittet gick vi igenom räkneregeln för multiplikation av två komplexa tal, så om vi ska beräkna potensen av ett komplext tal där exponenten är lika med 2, då är ju det detsamma som att vi multiplicerar två identiska komplexa tal.
Vi antar att vi har följande komplexa tal
$$z=\cos\,v+i\cdot \sin\,v$$
där v = arg z. Detta är alltså ett komplext tal skrivet i polär form, där talets absolutbelopp är lika med 1.
Enligt räkneregeln för multiplikation av komplexa tal får vi då produkten
$${z}^{2}=z\cdot z=\cos\,(v+v)+i\cdot \sin\,(v+v)=$$
$$=\cos\,2v+i\cdot \sin\,2v$$
Om vi ska beräkna samma komplexa tal z upphöjt till 3, då motsvarar ju det
$${z}^{3}={z}^{2}\cdot z=\cos\,(2v+v)+i\cdot \sin\,(2v+v)=$$
$$=\cos\,3v+i\cdot \sin\,3v$$
de Moivres formel
På motsvarande sätt kan vi komma fram till att en potens där basen utgörs av det komplexa tal z, vars absolutbelopp är lika med 1, och exponenten är ett positivt heltal n, ges av följande formel:
$${z}^{n}={(\cos\,v+i\cdot \sin\,v)}^{n}=\cos\,nv+i\cdot \sin\,nv$$
där n är ett positivt heltal, v = arg z, och
$$z=\cos\,v+i\cdot \sin\,v$$
Denna formel kallas de Moivres formel, namngiven efter den franske matematikern Abraham de Moivre.
Om vi tillåter det komplexa talet z att ha andra absolutbelopp än 1, får vi följande allmänna formel för den sökta potensen:
$${z}^{n}={|z|}^{n}\cdot (\cos\,nv+i\cdot \sin\,nv)$$
där n är ett positivt heltal och v = arg z.
de Moivres formel är användbar bland annat då vi vill hitta komplexa lösningar av potensekvationer av typen
$${z}^{n}=w$$
där såväl z som w kan vara komplexa tal, eftersom vi nu enkelt kan skriva om denna ekvations vänstra led.
Beräkna potensen z3 och ange resultatet i rektangulär form
Om vi har
$$z=4\cdot \left (\cos\,\frac{2\pi}{3}+i\cdot \sin\,\frac{2\pi}{3} \right )$$
de Moivres formel ger oss följande:
$${z}^{3}={|z|}^{3}\cdot \left (\cos\,3v+i\cdot \sin\,3v \right )$$
Med
$$|z|=4$$
och
$$v=arg\,z=\frac{2\pi}{3}$$
får vi
$${z}^{3}={4}^{3}\cdot \left (\cos\,\left (3\cdot \frac{2\pi}{3} \right )+i\cdot \sin\,\left (3\cdot \frac{2\pi}{3} \right ) \right )=$$
$$=64\cdot \left (\cos\,2\pi+i\cdot \sin\,2\pi \right )=$$
$$=64\cdot \left (\cos\,0+i\cdot \sin\,0 \right )=$$
$$=64\cdot \left (1+i\cdot 0 \right )=64$$
Exempel på beräkning med de Moivres formel.
- Polär form: att skriva det komplexa talet \(z \) utifrån pilens längd mellan origo och punkten, samt vinkeln mellan pilen och den reella axelns positiva sida, \(Re(z)\). Det komplexa talet \(z \) ser ut som följande:
$$z=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)$$ - Absolutbeloppet |z|: blir längden på pilen som skapas i det komplexa talplanet av \(z = a+bi\). Beräknas med hjälp av Pythagoras sats så här:
$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$ - Argumentet arg(z): blir vinkeln mellan pilen som skapas i det komplexa talplanet av \(z = a+bi\). Beräknas med hjälp av trigonometri så här:
$$v=\arctan\,\left (\frac{b}{a} \right )$$ - de Moivres formel:
$${z}^{n}={|z|}^{n}\cdot (\cos\,nv+i\cdot \sin\,nv)$$
där n är ett positivt heltal och v = arg z.