Kvadratrötter

I tidigare avsnitt har vi lärt oss om potenser och att vi kan se potenser som ett sätt att skriva upprepad multiplikation.

I det här avsnittet ska vi bekanta oss med begreppet kvadratrot, som är användbart när vi löser problem som innehåller potenser.

I nästa avsnitt kommer vi att lära oss några regler som hjälper oss när vi ska räkna med kvadratrötter.

Vad är en kvadratrot?

Om vi tänker på talet 16, så vet vi från vad vi lärt oss om potenser att vi kan skriva talet 16 på följande sätt:

$$ 16=4\cdot4={4}^{2}$$

Talet 4² är en potens med basen 4 och exponenten 2.

En kvadratrot ur ett tal x är ett icke-negativt tal som upphöjt till 2 är lika med x.

Till exempel är 4 kvadratroten ur 16, eftersom 4² = 16. Man brukar säga att "kvadratroten ur 16 är lika med 4", eller "roten ur 16 är lika med 4".

Det finns ett särskilt matematiskt tecken som används för kvadratrötter. Vill vi skriva att kvadratroten ur 16 är lika med 4, så skriver vi så här:

$$ \sqrt{16}=4$$

Andra exempel på kvadratrötter ur tal, som är heltal är

$$ \sqrt{1}=1$$

$$\sqrt{4}=2 $$

$$\sqrt{9}=3$$

$$\sqrt{25}=5 $$

$$\sqrt{36}=6$$

I dessa exempel blev kvadratroten ur talen heltal. Men det är inte alltid kvadratroten ur ett tal är ett heltal.

Till exempel finns det inget heltal som multiplicerat med sig självt blir lika med 2. Alltså är

$$ \sqrt{2}$$

inte ett heltal. Däremot kan vi beräkna ett ungefärligt värde för roten ur 2, vad vi kallar ett närmevärde. Ett närmevärde kan vi beräkna antingen för hand eller med hjälp av en miniräknare, som ofta har en särskild funktion för beräkning av kvadratrötter.

Vi kan skriva närmevärdet för roten ur 2 så här:

$$ \sqrt{2}\approx1,414213562$$

Med två decimalers noggrannhet är roten ur 2 alltså

$$ \sqrt{2}\approx1,41$$

Att kunna räkna med kvadratrötter är mycket användbart när vi löser problem som innehåller potenser. Det kommer vi bland annat att märka när vi senare ska lära oss att använda Pythagoras sats, ett viktigt samband som gäller för rätvinkliga trianglar.


Beräkna differensen

$$ 2\cdot\sqrt{81}-3\cdot\sqrt{25}$$

När vi ska beräkna värdet av detta uttryck, börjar vi med att beräkna roten ur 81 och roten ur 25.

$$ \sqrt{81}=9$$

$$\sqrt{25}=5$$

Nu kan vi förenkla uttrycket:

$$2\cdot\sqrt{81}-3\cdot\sqrt{25}=$$

$$=2\cdot9-3\cdot5=$$

$$=18-15=3$$

Värdet av uttrycket är alltså 3.


Beräkna med hjälp av miniräknare denna summa:

$$ \sqrt{5}+\sqrt{6}$$

Svara med två decimalers noggrannhet.

När vi ska beräkna den här summan börjar vi med att beräkna roten ur 5 och roten ur 6.

$$ \sqrt{5}\approx2,236067977 $$

$$\sqrt{6}\approx2,449489743$$

Sedan beräknar vi summan av dessa båda närmevärden med så många decimaler som möjligt:

$$ \sqrt{5}+\sqrt{6}\approx2,236067977+2,449489743=4,68555772$$

Med två decimalers noggrannhet är summan

$$ \sqrt{5}+\sqrt{6}\approx4,69$$


När vi räknar med närmevärden är det viktigt att vi inte avrundar mer än nödvändigt tidigt i våra beräkningar, för då finns risken att svaret blir felaktigt.

Videolektioner

Här går vi igenom kvadratrötter och en metod som hjälper att hitta svaret.

Här går vi igenom olika kvadratrötter.

Har du en fråga du vill ställa om Kvadratrötter? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se