Små tal som potenser
Vi har tidigare lärt oss att skriva upprepade multiplikationer som potenser och funnit några räkneregler för potenser.
I det här avsnittet ska vi undersöka potenser med negativa exponenter och hur vi kan använda sådana potenser för att skriva små tal.
Potenser med negativa exponenter
När vi lärde oss om hur vi kan dividera potenser som har lika bas, kom vi fram till den här räkneregeln:
$$ \frac{{a}^{b}}{{a}^{c}}={a}^{b-c}$$
Till exempel kan vi räkna så här:
$$ \frac{{10}^{4}}{{10}^{3}}={10}^{4-3}={10}^{1}=10$$
Men vad skulle hända om vi bytte plats på potenserna i täljaren och nämnaren i detta exempel? Då skulle vi få följande uttryck, som vi förenklar med räkneregeln för division av potenser:
$$ \frac{{10}^{3}}{{10}^{4}}={10}^{3-4}={10}^{-1}$$
Hur ska vi tolka en potens med exponenten -1?
Vi undersöker kvoten genom att skriva ut alla 10-faktorerna och sedan förkorta:
$$ \frac{{10}^{3}}{{10}^{4}}=\frac{10\cdot10\cdot10}{10\cdot10\cdot10\cdot10} =\frac{ {\color{Red}{10}} \cdot {\color{Red}{10}} \cdot {\color{Red}{10}}}{10\cdot {\color{Red}{10}} \cdot {\color{Red}{10}} \cdot {\color{Red}{10}}} = \frac{1}{10} = 0,1$$
Det här måste ju betyda att vi har tre olika sätt att skriva samma sak:
$$ {10}^{-1}=\frac{1}{10}=0,1$$
På samma sätt kan vi visa att en potens med basen 10 och exponenten -2 kan skriva på dessa sätt:
$$ {10}^{-2}=\frac{1}{{10}^{2}}=0,01$$
Allmänt gäller det här sambandet:
$$ {10}^{-a}=\frac{1}{{10}^{a}}$$
där a är ett positivt tal.
Till exempel gäller att
$$ {10}^{-6}=\frac{1}{{10}^{6}}=0,000001$$
vilket är en miljondel.
Förenkla uttrycket och svara utan tiopotens
$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{5}}$$
Vi förenklar genom att dividera potenserna.
$$ \frac{{10}^{2}}{{10}^{5}}={10}^{2-5}={10}^{-3}$$
Vi skriver om denna potens i decimalform:
$$ {10}^{-3}=\frac{1}{{10}^{3}}=\frac{1}{1\,000}=0,001$$
Uttrycket visade sig alltså vara lika med en tusendel.
Små tal i grundpotensform
Att kunna skriva decimaltal med hjälp av tiopotenser är användbart när vi vill räkna med små tal, till exempel en väteatoms massa.
Vi kan skriva små decimaltal i grundpotensform, om vi låter exponenten vara negativ.
Till exempel kan vi skriva talet 0,0054 så här i grundpotensform:
$$0,0054=5,4\cdot0,001= $$
$$=5,4\cdot\frac{1}{1\,000}=$$
$$=5,4\cdot\frac{1}{{10}^{3}}=$$
$$=5,4\cdot{10}^{-3}$$
Allmänt gäller ju för tal i grundpotensform att de ska bestå av en tiopotens, i det här exemplet 10-3, och en faktor framför tiopotensen, i det här exemplet 5,4, som är större än 1 och mindre än 10.
Skriv talet 0,00032 i grundpotensform
Vi skriver om talet som en produkt av ett decimaltal och en lämplig tiopotens, så att talet står skrivet i grundpotensform.
$$0,00032=3,2\cdot0,0001= $$
$$=3,2\cdot\frac{1}{10\,000}= $$
$$=3,2\cdot\frac{1}{{10}^{4}}=$$
$$=3,2\cdot{10}^{-4}$$
Skriv talet i decimalform
$$ 4,7\cdot{10}^{-2}$$
Vi börjar med att skriva om tiopotensen i decimalform. Sedan är det enkelt att beräkna produkten.
$$4,7\cdot{10}^{-2}=$$
$$=4,7\cdot\frac{1}{{10}^{2}}= $$
$$=4,7\cdot\frac{1}{100}= $$
$$=4,7\cdot0,01=0,047$$
Räkna med potenser med negativa exponenter
När vi nu vet att vi kan skriva små tal med hjälp av potenser med negativa exponenter vill vi veta vad som gäller när vi räknar med sådana tal. För multiplikation och division gäller precis samma räkneregler som vi kom fram till när exponenterna var positiva.
Vi ska nu räkna några exempel för att se hur det kan gå till.
Förenkla uttrycket
$$ a)\,\,{10}^{7}\cdot{10}^{-2}$$
$$b)\,\,{6}^{-3}\cdot{6}^{5}$$
Lösningsförslag:
a)
Vi använder räkneregeln för multiplikation av potenser. Glöm inte bort att exponenten i den andra potensfaktorn är negativ.
$$ {10}^{7}\cdot{10}^{-2}=10^{7+(-2)}={10}^{7-2}={10}^{5}=100\,000$$
b)
Även i detta fall ska vi använda räkneregeln för multiplikation av potenser.
$$ {6}^{-3}\cdot{6}^{5}={6}^{-3+5}={6}^{2}=36$$
Förenkla uttrycket:
$$a)\,\,\frac{{10}^{{}^{2}}}{{10}^{{}^{-1}}} $$
$$b)\,\,\frac{{2}^{{}^{-2}}}{{2}^{{}^{-5}}}$$
Lösningsförslag:
a)
Som vanligt använder vi räkneregeln för division av potenser. Vi är noga med att komma ihåg att potensen i nämnaren har en negativ exponent.
$$ \frac{{10}^{{}^{2}}}{{10}^{{}^{-1}}}={10}^{2-(-1)}={10}^{2+1}={10}^{3}=1\,000$$
b)
Även i det här fallet använder vi räkneregeln för division av potenser. Här har både potensen i täljaren och nämnaren negativ exponent, men i övrigt räknar vi som vanligt.
$$\frac{{2}^{{}^{-2}}}{{2}^{{}^{-5}}}={2}^{-2-(-5)}={2}^{-2+5}={2}^{3}=8$$
Multiplicera dessa båda tal, som är skrivna i grundpotensform
$$ 3,8\cdot{10}^{3}$$
och
$$ 2\cdot{10}^{-2}$$
Lösningsförslag:
Vi skriver produkten i ett enda uttryck och flyttar om faktorerna.
$$ 3,8\cdot{10}^{3}\cdot2\cdot{10}^{-2}=$$
$$=3,8\cdot2\cdot{10}^{3}\cdot{10}^{-2}$$
Nu kan vi använda räkneregeln för multiplikation av potenser, för att förenkla de två tiopotenserna till en enda tiopotens:
$$ 3,8\cdot2\cdot{10}^{3}\cdot{10}^{-2}=$$
$$=3,8\cdot2\cdot{10}^{3+(-2)}= $$
$$=3,8\cdot2\cdot{10}^{3-2}=$$
$$=3,8\cdot2\cdot{10}=$$
$$=7,6\cdot{10}=76$$
Dividera dessa båda tal, som är skrivna i grundpotensform
$$ 3,8\cdot{10}^{3}$$
och
$$ 2\cdot{10}^{-2}$$
Lösningsförslag:
Vi skriver kvoten i ett enda uttryck:
$$ \frac{3,8\cdot{10}^{3}}{2\cdot{10}^{-2}}$$
I årskurs 8 gick vi igenom hur vi gör när vi multiplicerar bråktal. Då kom vi fram till en allmän regel, som lyder så här:
$$ \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$
Den här räkneregeln kan vi nu använda baklänges, genom att dela upp vår givna kvot i två kvoter, så här:
$$ \frac{3,8\cdot{10}^{3}}{2\cdot{10}^{-2}}=\frac{3,8}{2}\cdot\frac{{10}^{3}}{{10}^{-2}}$$
När vi har kommit så här långt kan vi förenkla de båda kvoterna var för sig.
$$ {\color{Blue} {\frac{3,8}{2}}}\cdot{\color{Red}{ \frac{{10}^{3}}{{10}^{-2}}}}=$$
$$={\color{Blue}{ 1,9}}\cdot{\color{Red}{ {10}^{3-(-2)}}}=$$
$$={\color{Blue}{ 1,9}}\cdot{\color{Red} {{10}^{3+2}}}=$$
$$={\color{Blue}{ 1,9}}\cdot{\color{Red}{ {10}^{5}}}=190\,000$$
Videolektioner
Här går vi igenom små tal och 10-potenser.
Här går vi igenom potenser med negativa exponenter.
Här går vi igenom små tal i grundpotensform.
Här går vi igenom hur man räknar med grundpotensform.