Tre grundläggande problem

I den grundläggande procenträkningen använder man hela tiden andelen, delen och det hela, vilket vi repeterade i det förra avsnittet. I det här avsnittet ska vi gå igenom tre återkommande problem som man ofta stöter på, där man använder sambandet mellan andelen, delen och det hela.

Beroende på vad vi söker räknar vi på olika sätt. Vi såg tidigare följande tre sätt att skriva sambandet mellan andelen, delen och det hela:

$$andelen=\frac{delen}{det\: hela}$$

$$delen=det\: hela\cdot andelen$$

$$det\: hela=\frac{delen}{andelen}$$

Vi ska nu visa hur dessa tre olika sätt att skriva detta samband kan användas för att lösa olika typer av problem.

Problem 1 - Andelen

Det första problemet som vi kommer att ta upp är, hur många procent är 20 av 400? (Det kan röra sig om till exempel 20 kr av 400 kr, eller 20 personer av 400 personer.)

Vi har "delen" (20) och "det hela" (400), och vill ta reda på hur många procent ("andelen") det motsvarar. Därför blir vår uträkning så här:

$$andelen=\frac{delen}{det\: hela}=\frac{20}{400}=0,05=5\%$$

20 av 400 motsvarar alltså andelen 5 %.

Problem 2 - Delen

Hur gör vi om vi har procentsatsen (andelen) och det hela, men söker delen? Detta är det andra grundläggande problemet.

Det kan till exempel röra sig om att en kommun har anordnat en folkomröstning, där vi vet hur många procent av dem som röstade "ja" (andelen), säg 5 %, samt hur många personer som röstade i folkomröstningen (det hela), säg 400 personer, och där vi vill räkna ut hur många personer det var som röstade "ja" (delen).

I det här fallet använder vi den omskrivna versionen av sambandet, så att vi beräknar antalet personer i den sökta delgruppen som röstade "ja" (delen) som andelen personer som tillhör denna grupp (andelen) multiplicerat med antalet personer totalt (det hela):

$$delen=andelen\cdot det\: hela$$

Alltså får vi enligt sambandet att:

$$delen=5\%\: av\: 400=0,05\cdot 400=20$$

Antalet personer som röstade "ja" i folkomröstningen (delen) var alltså 20 personer.

Problem 3 - Det hela

I det tredje typproblemet som vi ska gå igenom, vill vi ta reda på hur stort "det hela" är utifrån att vi vet "andelen" (procent) och "delen" (antal). Man kan se det som att man känner till hur mycket en viss del är och hur många procent av helheten denna del utgör, och utifrån denna information vill veta hur mycket det hela är.

Eftersom procent är hundradelar kan vi räkna ut vad en procent (en hundradel) motsvarar i antal, genom att dividera "delen" med antalet hundradelar av det hela som delen utgör. Sen är det bara att multiplicera med hundra för att få det hela. Med talen som vi använde tidigare får vi:

$$\frac{20}{5}=4$$

Om 20 stycken av någonting (till exempel personer som röstade i folkomröstningen) motsvarar fem hundradelar av det hela, då är alltså 1 % av det hela samma sak som 20/5 = 4 st. Vi kan till exempel tolka detta som att 1 % av det antal personer som röstade i folkomröstningen motsvarar 4 personer.

För att i nästa steg få fram det hela, så multiplicerar vi antalet som en procent (en hundradel) motsvarar med 100 för att få fram antalet som 100 % ("det hela") motsvarar:

$$4\cdot 100=400$$

vilket är ett värde vi känner igen.

Vi kan även räkna ut värdet på "det hela" genom att använda oss av formeln vi använde i problem 1 och 2:

$$det\: hela=\frac{delen}{andelen}$$

Då får vi med samma tal som innan

$$\frac{20}{0,05}=400$$

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Tre grundläggande problem? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!