Andelen, delen och det hela

I det förra avsnittet repeterade vi vad procent är och att vi kan skriva samma tal i bråkform , decimalform eller procentform . I årskurs 7 lärde vi oss också att vi kan använda sambandet mellan andelen, delen och det hela för att beräkna hur många procent en viss del utgör.

I det här avsnittet ska vi repetera sambandet mellan andelen, delen och det hela, och använda detta samband till att ta reda på hur stor andelen, delen eller det hela är.

Sambandet mellan andelen, delen och det hela

När vi vill beräkna hur många procent något är, då dividerar vi hur stor delen är med hur stort det hela är.

Till exempel kan vi beräkna att om det finns 20 elever i en klass och 8 av dessa elever är flickor, då utgör flickorna 40 % av eleverna:

$$ \frac{8}{20}=\frac{{\color{Blue}5\cdot}\,8}{{\color{Blue}5\cdot}\, 20}=\frac{40}{100}=40\,\%=0,4$$

I det här exemplet använde vi oss av förlängning av bråket för att underlätta beräkningen.

När vi gör den här typen av beräkningar, då använder vi oss i själva verket av ett visst samband mellan andelen, delen och det hela:

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}$$

I vårt exempel med flickorna i klassen, var andelen 0,4 (40 %), delen var 8 flickor, och det hela var 20 elever. Med andelen menar vi alltså hur stor del av det hela som något är, i det här fallet hur stor delen 8 flickor är av 20 elever, vilket vi kan ange i decimalform eller procentform.

Beräkna andelen

Vi ska nu använda sambandet mellan andelen, delen och det hela till att beräkna hur många procent något är av det hela.


Linus tappar ett äggpaket

Linus har varit i affären och handlat ägg, som säljs i ett paket med 12 ägg. På vägen hem tappar han paketet med ägg i marken och då går nio av äggen sönder.

Hur många procent av äggen gick inte sönder?

Lösningsförslag:

Vi ska använda sambandet mellan andelen, delen och det hela, så vi börjar med att ta reda på vad som är andelen, delen och det hela.

Det hela är antalet ägg som fanns från början, det vill säga 12 stycken ägg.

Delen är antalet ägg som inte gick sönder, vilket är 3 stycken ägg.

Andelen ägg som inte gick sönder kan vi därför beräkna så här:

$$andelen=\frac{delen}{det\,hela}=\frac{3}{12}=$$

$$=\frac{\frac{3}{{\color{Red} 3}}}{\frac{12}{{\color{Red} 3}}}=\frac{1}{4}=0,25=25\,\%$$

Andelen ägg som inte gick sönder var alltså 25 %.


Kommunalval

I ett kommunalval fick ett politiskt parti 1 000 röster. Totalt var det 20 000 personer som röstade i valet.

Hur många procent av rösterna fick partiet i valet?

Lösningsförslag:

Den del som vi är intresserade av är de 1 000 rösterna.

Det hela är antalet röster totalt, det vill säga 20 000 röster.

För att ta reda på hur många procent av rösterna partiet fick, beräknar vi andelen:

$$ andelen=\frac{delen}{det\,hela}=\frac{1\,000}{20\,000}=\frac{10}{200}=\frac{5}{100}=0,05=5\,\%$$

Partiet fick alltså 5 % av rösterna i valet.


Beräkna delen

Ibland kan vi vilja ta reda på hur stor en viss del är, när vi känner till hur stor andel delen utgör och hur mycket det hela är. I sådana fall kan vi skriva om sambandet mellan andelen, delen och det hela med hjälp av ekvationslösning som vi har lärt oss i tidigare kapitel:

$$ \color{red}{det \, hela} \cdot andelen =\color{red}{ det \, hela} \cdot \frac{delen}{det \, hela}$$

Vi får då följande samband vi kan använda oss av:

$$ delen=andelen\cdot det\,hela$$

Något som vi måste komma ihåg när vi räknar med den här formeln, är att andelen då ska vara skriven i decimalform. Om vi till exempel har andelen 25 %, innebär det att vi använder 0,25 (det vill säga 25 % i decimalform) när vi utför beräkningen.

Vill vi ta reda på hur många 25 % av 300 personer är, så räknar vi därför så här:

$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=25\,\%\cdot 300=$$

$$=0,25\cdot 300=75$$

25 % av 300 personer är alltså 75 personer.

Ett sätt att underlätta den här beräkningen om vi ska använda huvudräkning, är att först räkna ut hur mycket 1 % av 300 är och sedan multiplicera detta med 25, för att få delen som 25 % utgör:

$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=25\,\%\cdot 300=$$

$$=25\cdot 1\,\%\cdot 300=$$

$$=25\cdot 0,01\cdot 300=$$

$$=25\cdot 3=75$$

På samma sätt som vi gjorde i det här exemplet kan vi räkna i andra sammanhang när vi vill ta reda på hur stor delen är, om vi vet andelen och det hela.


Prissänkning på en jacka

En jacka som säljs i en klädaffär hade från början priset 600 kr. Sedan sänktes priset med 20 %. 

Hur stor var prissänkningen i kronor räknat?

Lösningsförslag:

Jackan kostade från början 600 kr, så detta kan vi se som det hela.

Priset sänktes med 20 %, så andelen som prissänkningen utgör är 0,2 (20 %).

Prissänkningen i kronor räknat blir därför

$$ delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=20\,\%\cdot 600=$$

$$=0,2\cdot 600=$$

$$=2\cdot 0,1\cdot 600=$$

$$=2\cdot 60=120\,kr$$

Prissänkningen på 20 % motsvarar alltså 120 kr.


Lisa och Marias hyra

Lisa och Maria bor tillsammans i en studentlägenhet. De har kommit överens om att Lisa betalar 60 % av hyran och Maria betalar resten av hyran.

Om hyran är 3 000 kr per månad, hur mycket behöver då Lisa betala per månad?

Lösningsförslag:

Lisa ska betala 60 % av hyran, så andelen vi ska räkna med är 0,6 (60 %).

Hela hyran är 3 000 kr, så det hela är 3 000 kr.

Därför får vi Lisas del av hyran så här:

$$delen=andelen\cdot det\,hela=$$

$$=60\,\%\cdot 3\,000=$$

$$=0,6\cdot 3\,000=$$

$$=6\cdot 0,1\cdot 3\,000=$$

$$=6\cdot 300=1\,800\,kr$$

Den del av hyran som Lisa betalar är alltså 1 800 kr per månad.

Beräkna det hela

Ett tredje sätt som vi kan använda sambandet mellan andelen, delen och det hela, är att beräkna hur mycket det hela är. Det kan vi göra genom att vi använder den här versionen av sambandet:

$$ det\,hela=\frac{delen}{andelen}$$

Även i det här fallet ska andelen skrivas i decimalform, så till exempel 25 % blir 0,25.

Om till exempel 25 % av antalet personer i en grupp är 75 personer, så kan vi beräkna hur många personer det totalt finns i gruppen så här:

$$ det\,hela=\frac{delen}{andelen}=$$

$$=\frac{75}{0,25}=$$

$$=\frac{{\color{Blue} 4\,\cdot}\, 75}{{\color{Blue} 4\,\cdot}\, 0,25}=$$

$$=\frac{300}{1}=300\,personer$$

Om 75 personer är 25 % av antalet personer i gruppen, då är alltså hela gruppen 300 personer.

På samma sätt som vi gjorde i det här exemplet kan vi räkna i andra sammanhang när vi vill ta reda på hur stort det hela är, om vi vet delen och andelen.


Lisas inkomst

Lisa betalar 1 800 kr per månad i hyra för en studentlägenhet som hon delar med Maria. Lisas hyreskostnad per månad utgör 30 % av hennes månadsinkomst.

Hur stor är Lisas inkomst?

Lösningsförslag:

Vi kan använda sambandet mellan andelen, delen och det hela för att beräkna Lisas inkomst.

Hennes hyreskostnad utgör andelen 30 % av hennes inkomst, så andelen är 0,3 (30 %).

Hyreskostnaden är 1 800 kr per månad, så delen är 1 800 kr.

Därför kan vi beräkna Lisas inkomst så här:

$$det\,hela=\frac{delen}{andelen}=$$

$$=\frac{1\,800}{0,3}=$$

$$=\frac{{\color{Blue} {10\,\cdot}}\, 1\,800}{{\color{Blue} {10\,\cdot}}\, 0,3}= $$

$$=\frac{18\,000}{3}=6\,000\,kr$$

Lisas inkomst är alltså 6 000 kr per månad.


Datorspel på rea

Pontus köper ett datorspel på rea och får då spelet 70 kr billigare än vad priset var innan rean.

Hur mycket kostade spelet innan rean, om prissänkningen var 40 %?

Lösningsförslag:

Vi vet att prissänkningen utgör 40 % av priset före rean, så andelen är 0,4 (40 %).

Prissänkningen är 70 kr, så den del vi räknar på är 70 kr.

Spelets pris före rean kan vi därför beräkna så här:

$$det\,hela=\frac{delen}{andelen}=$$

$$=\frac{70}{0,4}=$$

$$=\frac{{\color{Blue}{ 10\,\cdot}}\, 70}{{\color{Blue} {10\,\cdot}\, 0,4}}=$$

$$=\frac{700}{4}=175\,kr$$


Videolektion

I den här videon går vi igenom andelen, delen och det hela.

 

Har du en fråga du vill ställa om Andelen, delen och det hela? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se