Potenser och grundpotensform

I det här avsnittet ska vi repetera hur potenser fungerar, hur vi skriver tal i tiopotensform och i grundpotensform.

I senare avsnitt ska vi därefter gå vidare och lära oss några av de räkneregler som gäller för potenser, och även hur vi kan skriva små tal som potenser.

Skriva tal som potenser

Om vi har en upprepad multiplikation, då kan vi skriva den som en potens. Till exempel kan vi skriva följande produkt

$$ 3\cdot3\cdot3\cdot3=81$$

som en potens, så här:

$$ {3}^{4}=81$$

Ett tal skrivet som en potens är uppbyggt så här:

$$ {bas}^{exponent}$$

Detta innebär att basen ska multipliceras med sig självt och att det antal gånger som basen ska multipliceras står i exponenten.

---

Skriv produkten som en potens

$$ a)\,\,2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 $$

$$ b)\,\,(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)\cdot(-4) $$

$$ c)\,\,x\cdot x\cdot x$$

Lösningsförslag:

a)

Talet 2 ska multipliceras med sig självt och det ska multipliceras 6 gånger. Det innebär att vi kan skriva produkten som en potens med basen 2 och exponenten 6:

$$ 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^6$$

b)

I det här fallet har vi talet -4 som ska multipliceras med sig självt och det ska multipliceras 4 gånger. Därför kan vi skriva produkten som en potens med basen -4 och exponenten 4:

$$ (-4)\cdot(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)=(-4)^{4}$$

c)

Här har vi talet x som ska multipliceras med sig självt och det ska multipliceras 3 gånger. Därför skriver vi produkten som en potens med basen x och exponenten 3, så här:

$$ x\cdot x\cdot x={x}^{3}$$

Att basen är variabeln x påverkar alltså inte hur vi skriver potensen.

---

Beräkna värdet av potensen

$$a)\,\,{2}^{5} $$

$$ b)\,\,(-6)^{3}$$

Lösningsförslag:

a) Eftersom basen är 2 och exponenten är 5 beräknar vi värdet av potensen genom att 5 gånger multiplicera faktorn 2:

$$ {2}^{5}= $$

$$ =2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2= $$

$$=4\cdot2\cdot2\cdot2= $$

$$=8\cdot2\cdot2= $$

$$ =16\cdot2=32$$

b) Eftersom basen är -6 och exponenten är 3 beräknar vi värdet av potensen genom att 3 gånger multiplicera faktorn -6. I det här fallet få vi komma ihåg räknereglerna när vi multiplicerar med negativa tal:

$$ (-6)^{3} =$$

$$ =(-6)\cdot(-6)\cdot(-6) =$$

$$ =36\cdot(-6)= -216$$

---

Tiopotenser

En tiopotens är helt enkelt en potens med basen 10.

Tiopotenser är särskilt användbara för oss, i och med att det talsystem som vi använder är uppbyggt utifrån talet 10. Till exempel är talet 1 000 tio gånger större än talet 100, och talet 100 är i sin tur tio gånger större än talet 10.

Några exempel på tiopotenser:

$$ {10}^{1}=10\,\,(tio) $$

$$ {10}^{2}=100\,\,(hundra) $$

$$ {10}^{3}=1\,000\,\,(tusen)$$

---

Skriv talet 100 000 i tiopotensform

Talet 100 000 är detsamma som om vi 5 gånger multiplicerar faktorn 10, vilket gör det lätt att skriva talet i tiopotensform:

$$ 100\,000=10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10={10}^{5}$$

Vi kan se att exponenten i tiopotensen blev lika med antalet nollor i det ursprungliga talet, det vill säga 5 stycken. Det kan vara bra att hålla i minnet när vi räknar med tiopotenser.

---

Tal i grundpotensform

När vi nu vet hur vi kan skriva tal i tiopotensform ska vi gå igenom ett vanligt användningsområde för detta sätt att skriva tal.

Stora tal blir ofta klumpiga att skriva och räkna med om vi behöver skriva ut alla nollor. Det kan till exempel gälla tal i storleksordningen solens massa i kg (vilken är ungefär 2 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 kg, alltså en 2:a följd av 30 stycken nollor kg). Därför är det användbart att skriva sådana tal i grundpotensform.

Låt oss först titta på ett enklare exempel, där vi skriver talet 3 270 i grundpotensform. Talet 3 270 kan vi skriva som en produkt av faktorerna 3,27 och 1 000, så vi kan på så sätt skriva om talet i grundpotensform:

$$ 3\,270=3,27\cdot1\,000=3,27\cdot {10}^{3}$$

Ett tal i grundpotensform är alltid uppbyggt på detta sätt, med en tiopotens, och en faktor före tiopotensen som är större än 1 men samtidigt är mindre än 10. I exemplet här ovanför har tiopotensen exponenten 3 och faktorn framför tiopotensen är 3,27.

Om vi vill skriva solens ungefärliga massa i grundpotensform, så kan vi göra det så här:

$$ 2\cdot{10}^{30}\,kg$$

vilket ju är mycket enklare än att behöva skriva ut alla de 30 nollorna.

---

Skriv följande tal i grundpotensform

$$ a)\,\,16 $$

$$ b)\,\,435\,007$$

Lösningsförslag:

a) Vi kan skriva talet 16 som en produkt med en faktor 10, så här:

$$ 16=1,6\cdot{10}^{1}$$

Därför har vi direkt skrivit om 16 i grundpotensform.

b) Talet 435 007 kan vi skriva som en produkt med en faktor 100 000, så här:

$$ 435\,007=4,35007\cdot100\,000=4,35007\cdot{10}^{5}$$

Efter att ha skrivit om 100 000 i tiopotensform kunde vi alltså skriva det ursprungliga talet i grundpotensform.

---

Skriv talen utan tiopotens

$$ a)\,\,1,402\cdot{10}^{3} $$

$$ b)\,\,6,9\cdot{10}^{6}$$

Lösningsförslag:

a) För att skriva talet utan tiopotens, börjar vi med att skriva om tiopotensen, vilket är enkelt att göra om vi 3 gånger multiplicerar faktorn 10:

$$ {10}^{3}=1\,000$$

Nu kan vi beräkna produkten:

$$ 1,402\cdot1\,000=1\,402$$

Alltså är talet 1 402 hur vi skriver det givna talet utan att använda någon tiopotens.

b) Vi gör likadant som vi gjorde i den förra deluppgiften och börjar med att skriva om tiopotensen. Att 6 gånger multiplicera faktorn 10 är lika med en miljon (en etta följd av sex stycken nollor):

$$ {10}^{6}=1\,000\,000$$

Därefter beräknar vi produkten:

$$ 6,9\cdot1\,000\,000=6\,900\,000$$

Alltså är talet 6 900 000 hur vi skriver det givna talet utan att använda någon tiopotens. Vi kan även skriva det som 6,9 miljoner, om vi inte vill skriva ut alla nollorna.

Videolektioner

Här ger vi en introduktion till potenser.

Här går vi igenom potenser som har bråktal i basen.

Här går vi igenom potenser som har negativa tal i basen.

Här går vi igenom grundpotensform.

Här går vi igenom potenser och grundpotensform.