Primitiv funktion som lösning

I det förra avsnittet repeterade vi vad en differentialekvation är, att lösningen till en differentialekvation är en funktion och hur vi kan verifiera att en viss funktion är en lösning.

I det här avsnittet kommer vi att undersöka hur vi i vissa fall kan lösa en differentialekvation genom att beräkna primitiva funktioner.

Primitiva funktioner

Redan i Matte 3-kursen lärde vi oss om primitiva funktioner i samband med att vi beräknade integraler.

En funktion F(x) är primitiv funktion till f(x) om vi får funktionen f(x) när vi deriverar F(x):

$$F'(x)=f(x)$$

Har vi till exempel en känd andragradsfunktion

$$f(x)=a{x}^{2}+bx+c$$

där a, b och c har godtyckligt valda värden, kan vi med hjälp av kända räkneregler beräkna den primitiva funktionen F(x):

$$F(x)=\frac{a{x}^{3}}{3}+\frac{b{x}^{2}}{2}+cx+d$$

Som vi ser ovan tillkom en konstantterm d när vi beräknade den primitiva funktionen F(x). Det beror på att det uttryck för den primitiva funktionen som vi kom fram till uttrycker samtliga primitiva funktioner till f(x).

På detta sätt kan vi alltså beräkna primitiva funktioner F(x) till en känd funktion f(x). Detta innebär att om vi till exempel känner till ett uttryck för en derivata y'(x) så kan vi ofta beräkna y(x). Hur detta kan användas när vi löser differentialekvationer ska vi undersöka härnäst.

Primitiv funktion som lösning till differentialekvationer

Som vi tidigare har kommit fram till är en differentialekvation en ekvation som innehåller en eller flera derivator till en funktion.

Till exempel kan en differentialekvation se ut på följande sätt:

$$s'(t)=1,2t+5$$

Denna differentialekvation innehåller enbart förstaderivatan av funktionen s(t) i det vänstra ledet och ett känt uttryck i det högra ledet. Denna differentialekvation kan till exempel beskriva hur ett föremåls hastighet beror på tiden t (vid tiden t = 0 sekunder är hastigheten 5 m/s och sedan ökar hastigheten för varje sekund som går med 1,2 m/s).

Stöter vi på differentialekvationer av denna typ kan vi ofta lösa dem genom att beräkna den primitiva funktionen med hjälp av kända räkneregler. Differentialekvationen ovan kan vi lösa genom att beräkna den primitiva funktionen till s'(t), det vill säga s(t), på följande sätt:

$$s'(t)=1,2t+5$$

$$s(t)=\frac{1,2{t}^{2}}{2}+5t+C=0,6{t}^{2}+5t+C$$

Som vi ser innehåller den primitiva funktionen s(t) en okänd konstantterm C. Med hjälp av denna konstantterm C uttrycker s(t) samtliga lösningar till vår givna differentialekvation, vad vi kallar den allmänna lösningen till differentialekvationen.

Om s(t) tolkas som hur sträckan beror på tiden t, kan konstanttermen C tolkas som sträckan då tiden t är lika med noll. Låter vi C = 0 gälla kan vi nu beräkna hur långt från utgångspunkten C som föremålet befinner sig vid till exempel vid tidpunkten t = 10 sekunder:

$$s(t)=0,6{t}^{2}+5t$$

$$s(10)=0,6\cdot {10}^{2}+5\cdot 10=60+50=110\,m$$

På liknande sätt som vi har gjort här ovan kan vi göra om vi till exempel känner till ett uttryck för andraderivatan s''(t). I det fallet är förstaderivatan s'(t) en primitiv funktion till s''(t), och funktionen s(t) är en primitiv funktion till s'(t). När vi har att göra med sträckor tolkar vi förstaderivatan s'(t) som hastigheten, v(t) = s'(t), och andraderivatan s''(t) som accelerationen, a(t) = v'(t) = s''(t).

Användning av villkor

Framgångsrik lösning av en differentialekvation leder typiskt till att vi får reda på en allmän lösning till differentialekvationen. Därför har vi ofta användning för ytterligare villkor som specificerar exakt vilka lösningar vi är intresserade av.

I fallet med ett föremål i rörelse, vars acceleration är känd, kan de ytterligare villkoren bestå i att vi känner till vilken hastigheten och/eller sträckan är vid en viss tidpunkt. Med hjälp av dessa villkor kan vi sedan bestämma värdena på konstanter som ingår i vårt funna funktionsuttryck.

Lös differentialekvationen

$$y''=sin\,2x+cos\,2x$$

då följande villkor gäller:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

Differentialekvationen består av ett känt uttryck för en andraderivata y''(x). Att lösa denna ekvation innebär att vi tar reda på ett uttryck för y(x). Detta kan vi göra genom att vi först beräknar den primitiva funktionen till y''(x), det vill säga y'(x), och i nästa steg beräknar den primitiva funktionen till y'(x), det vill säga y(x).

De primitiva funktionerna till funktionerna f(x) = sin 2x och g(x) = cos 2x är kända, eftersom vi stötte på dessa i Matte 4-kursen då vi studerade räkneregler för integraler:

$$\begin{cases}f(x) & =sin\,2x\\F(x) & =-\frac{cos\,2x}{2}+C\end{cases}$$

och

$$\begin{cases}g(x) & =cos\,2x\\G(x) & =\frac{sin\,2x}{2}+C\end{cases}$$

Vi beräknar y'(x) som den primitiva funktionen till y''(x):

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}+C$$

Detta är samtliga primitiva funktioner till y''(x). Eftersom vi känner till värdet på förstaderivatan då x = 0 kan vi ta reda på värdet på konstanttermen C och därigenom ta reda på just den primitiva funktionen till y''(x) som vi är ute efter i detta steg:

$$y'(0)=-\frac{1}{2}$$

$$y'(0)=-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{2}+\frac{sin\,(2\cdot 0)}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+\frac{0}{2}+C=$$

$$=-\frac{1}{2}+C$$

Därför måste värdet på konstanttermen C vara lika med noll.

Vi går vidare och beräknar y(x) som den primitiva funktionen till y'(x):

$$y'=-\frac{cos\,2x}{2}+\frac{sin\,2x}{2}$$

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}+D$$

Detta är samtliga primitiva funktioner till y'(x), givet att det första villkoret, som vi redan tagit hänsyn till, måste gälla. Vi har dock fortfarande en konstantterm, D, att hantera. För att ta reda på just den lösning som vi är intresserade av, använder vi oss av det andra villkoret, som anger funktionsvärdet då x = 0:

$$y(0)=-\frac{1}{4}$$

$$y(0)=-\frac{sin\,(2\cdot 0)}{4}-\frac{cos\,(2\cdot 0)}{4}+D=$$

$$=-\frac{0}{4}-\frac{1}{4}+D=$$

$$=-\frac{1}{4}+D$$

Alltså måste även värdet på konstanttermen D vara lika med noll.

Nu har vi funnit just den lösning till differentialekvationen som vi var ute efter:

$$y=-\frac{sin\,2x}{4}-\frac{cos\,2x}{4}$$