Primitiv funktion

I kursavsnittet derivata har vi lärt oss hur man kan hitta derivatan f´ utifrån en känd funktion f, vilket resulterade i ett antal deriveringsregler för funktioner av olika slag.

I det här avsnittet ska vi se hur man kan gå åt det motsatta hållet, hur man hittar en funktion f utifrån en känd derivata f´. Denna ursprungliga funktion kallar vi för primitiv funktion och är användbar i olika sammanhang, vilka vi kommer till snart.

Om vi har en funktions derivata f ´(x), så är den primitiva funktionen till derivatan f(x). Den primitiva funktionen till f(x) betecknas i sin tur "F(x)".

Generellt gäller att en funktion F är en primitiv funktion till f om den primitiva funktionen F:s derivata är lika med funktionen f:

$$F'(x)=f(x)$$


Vi börjar med ett enkelt exempel

Om vi har derivatan

$$f'(x)=2x$$

och ska ta fram den ursprungliga funktionen, så ska vi hitta en funktion som om vi deriverar den leder till derivatan som vi ser ovanför.

Den ursprungliga funktionen bör då se ut ungefär så här, eftersom denna funktions derivata motsvarar den kända derivatan som vi utgick ifrån:

$$f(x)=x^2$$

Men vad hade hänt om den ursprungliga funktionen hade sett ut som exemplet nedan istället?

$$f(x)=x^2+4$$

Jo, det resulterande funktionsuttrycket hade ju blivit detsamma när man deriverar dessa två olika ursprungliga funktioner. Samma sak gäller oavsett värdet på den konstantterm vi lägger till (i exemplen ovan hade konstanttermen värdet 0 respektive 4). Vi måste därför lägga till en konstantterm när vi tar fram en ursprunglig funktion, vilket ger oss följande funktionsuttryck:

$$ f(x)=x^2+C$$


Vi tittar på ett lite mer komplicerat exempel, som följer samma mönster men har ett högre gradtal

Funktionen

$$f(x)=4x^{6}+2x-12$$

har derivatan

$$f'(x)=24x^{5}+2$$

och den primitiva funktionen (alltså den funktion som om vi deriverar den resulterar i funktionen f(x) ovan)

$$F(x)=\frac{4x^{7}}{7}+x^{2}-12x+C$$


Nu börjar vi se ett samband mellan en funktion och den primitiva funktionen:

$$f(x)$$ $$F(x)$$
$$x^{-2}$$ $$\frac{x^{-1}}{-1}+C$$
$$1$$ $$x+C$$
$$x$$ $$\frac{x^{2}}{2}+C$$
$$x^2$$ $$\frac{x^{3}}{3}+C$$
$$x^n$$ $$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Det generella sambandet som står nederst i tabellen gäller för alla

$$n\neq -1$$

På ett liknande sätt gäller för exponentialfunktioner och deras primitiva funktioner följande samband:

$$f(x)$$ $$F(x)$$
$$e^{kx}$$ $$\frac{e^{kx}}{k}+C$$

där

$$k\neq 0$$

Villkor

Som vi tidigare kom fram till innehåller primitiva funktioner en konstantterm (C), som försvinner om man deriverar den primitiva funktionen.

Om vi till exempel har en känd derivata och vill bestämma en ursprunglig funktion, då kan vi dock ha intresse av att bestämma vilket värde konstanttermen har. Hur tar vi reda på konstanttermen C:s värde? Jo, det kan vi göra om vi känner till ytterligare villkor.


Vi tittar på ett exempel

Bestäm den ursprungliga funktionen utifrån den kända derivatan

$$f'(x)=2x$$

om man vet att

$$f(0)=5$$

Vi börjar med att hitta uttrycket för de primitiva funktionerna, vilket vi hittar i tabellen ovan (vi glömmer inte bort faktorn 2 framför):

$$f(x)=2\cdot \frac{x^{2}}{2}+C=x^{2}+C$$

Om vi nu sätter in villkoret f(0)=5 så får vi

$$f(0)=0^{2}+C=5$$


Vad vi nu har kommit fram till är att konstanttermen C ska ha värdet 5 för att villkoret ska vara uppfyllt. Därmed har vi också det fullständiga uttrycket för den ursprungliga funktionen:

$$ f(x)=x^{2}+5$$

Nu har vi alltså regler för hur vi bestämmer primitiva funktioner till potensfunktioner och exponentialfunktioner. Vi vet också att det går att använda villkor för att hitta en specifik primitiv funktion (att bestämma konstanttermen).

I nästa avsnitt ska vi lära oss hur man kan använda primitiva funktioner.

Videolektioner

Här går vi igenom primitiva funktioner med hjälp av exempel.

Så räknar vi fram den primitiva funktionen.

Har du en fråga du vill ställa om Primitiv funktion? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se