Beräkning av integraler

I det förra avsnittet såg vi hur man kan hitta primitiva funktioner utifrån en känd funktion. I det här avsnittet ska vi visa på en användbar tillämpning av primitiva funktioner på ett problem som återkommer i olika sammanhang. Vi introducerar här begreppet integraler och lär oss hur vi kan använda oss av integraler för areaberäkningar.

När man beräknar integralen av en funktion så motsvarar det att man beräknar arean mellan grafen och x-axeln.


Låt oss börja med ett exempel

Vi har följande funktion

$$y(x)=2x+4$$

och är intresserade av att veta arean av det område som ligger mellan grafen och x-axeln, och som begränsas av de vertikala linjerna x=0 och x=2.

Graf1

Det finns en generell formel för beräkning av denna typ av areor:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)$$

I det vänstra ledet har vi först integraltecknet

$$\int $$

Talen a och b anger den undre respektive den övre gränsen för det område som vi är intresserade av (i vårt exempel är a=0 och b=2). Till höger om integraltecknet med dess gränser kommer den funktion som utgör områdets övre gräns. Sist i vänstra ledet kommer dx, som anger att areaberäkningen ska ske med avseende på förändring i x-led.

I det högra ledet anges differensen

$$F(b)-F(a)$$

Detta är alltså differensen mellan värdet på den primitiva funktion F vid den övre gränsen (x=b) och den undre gränsen (x=a).

Det är mycket nytt som kommer på en gång med denna formel, så det enklaste är att fortsätta med vårt exempel:

Vi har alltså den kända funktionen y(x)=2x+4 och vi känner till den undre gränsen vid a=0 och den övre gränsen vid b=2. Därmed kan vi ställa upp det vänstra ledet i formeln, som i vårt exempel ser ut så här (vi tar i det här fallet uttryckligen med att integralen utgör en area, A):

$$A=\int_{0}^{2}(2x+4)dx$$

I formelns högra led ingår den primitiva funktionen F, som vi inte känner till än, så i nästa steg får vi beräkna den, vilket vi gör utifrån de regler som vi kom fram till i det förra avsnittet. Vi får följande:

$$F(x)=x^{2}+4x+C$$

När man ska beräkna integralen skriver man vanligen uträkningen på följande sätt:

$$\int_{a}^{b}f(x)dx = \left [ F(x) \right ]_a^b$$

vilket i vårt exempel blir

$$\int_{0}^{2}(2x+4)dx = \left [ x^2+4x \right ]_0^2$$

Som du kanske upptäckte i formeln ovan, bortsåg vi från konstanttermen C när vi skrev ut högerledet. Anledningen till detta är att denna term ändå kommer att försvinna eftersom den finns med i såväl F(b) som F(a). Vi tar dock med konstanttermen i den följande uträkningen, så att du ser hur den försvinner:

$$A=\int_{0}^{2}(2x+4)dx = \left [ x^2+4x \right ]_0^2=$$

$$=(2^{2}+4\cdot 2 + C)-(0^{2}+4\cdot 0 +C)=$$

$$=4+8+C-C=12 \: a.e.$$

Den sökta arean är alltså 12 areaenheter.


I exemplet ovan hade vi en funktion vars graf i hela intervallet låg ovanför x-axeln. Därmed låg hela det område som vi skulle beräkna arean på över x-axeln.

Vad händer med våra beräkningar om funktionen skulle ha negativa värden i intervallet och arean som beräknas i så fall ligger under x-axeln? Jo, då kommer integrationsberäkningar utifrån metoden vi använde ovan att leda till ett negativt resultat. Men en area kan ju inte ha ett negativt värde, varför vi måste byta tecken på integralen om området vi ska beräkna arean på ligger under x-axeln.

Videolektioner

Här går vi igenom integraler och hur vi räknar med dem.

Här går vi igenom varför vi räknar med integraler.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Beräkning av integraler? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se