Kongruens

Detta kan vi se som att 3 + 12 ska ge resultatet 3 när vi räknar med klockans timvisare, men vi vet ju även att summan av 3 och 12 är lika med 15. Hur går detta ihop?

Det värde som klockans timvisare pekar på i detta exempel, 3, är i själva verket den rest som vi får när vi dividerar summan av 3 och 12 med talet 12, eftersom

$$\frac{3+12}{12}=\frac{15}{12}=1\text{ rest }3$$

Dividerar vi 3 med 12 får vi en annan kvot, men samma rest:

$$\frac{3}{12}=0\text{ rest }3$$

Att på detta sätt intressera sig för vad resten blir vid heltalsdivision kallas kongruensräkning.

Om två heltal a och b får samma rest när vi dividerar dem med ett visst heltal n, säger vi att talen a och b är kongruenta modulo n.

I vårt exempel ovan gäller alltså att 3 och 15 är kongruenta modulo 12, eftersom såväl 3 som 15 får resten 3 vid division med 12. Om vi skulle fortsätta att addera 12 till 15, så kommer vi fram till ytterligare tal som är kongruenta modulo 12 med talen 3 och 15: de närmast efterföljande talen är 27, 39, 51, och så vidare i oändligheten.

Att två heltal a och b är kongruenta modulo n skriver vi

$$a\equiv b \pmod{n}$$

Därför skriver vi till exempel att talen 3 och 15 är kongruenta modulo 12 så här:

$$3\equiv 15\,\pmod{12}$$

En egenskap som följer av definitionen av kongruens är att differensen mellan två kongruenta tal modulo n, är delbar med n. Till exempel är 27 och 3 kongruenta modulo 12, och differensen

$$27-3=24$$

är delbar med 12.

Ett annat sätt att uttrycka detta är att differensen mellan två tal som är kongruenta modulo n är en multipel av n. Med detta menar vi att differensen kan skrivas som en produkt av heltalsfaktorer där talet n ingår som en faktor. Till exempel är differensen 24 en multipel av 12, eftersom vi kan skriva 24 som produkten av 2 och 12:

$$24=2\cdot 12$$

Här kan vi betona ytterligare en definition:

Två heltal a och b är kongruenta modulo n om differensen (a – b) är en heltalsmultipel av n.

Fördelen med denna definition framför den första definitionen är att begreppet "rest" inte är helt väldefinierat för negativa heltal. (Vad är resten då –4 delas med 7?). Detta problem undviker man med den sista definitionen då differensen kan beräknas för negativa heltal.

Hitta fyra tal som är kongruenta modulo 3.

Att de fyra talen är kongruenta modulo 3 innebär att resten vid heltalsdivision med 3 ska vara densamma för alla tre talen. Det finns tre olika rester som vi kan få vid heltalsdivision med 3: vi kan få resten 0, 1 eller 2.

Ett första tal som vi kan välja är talet 0. Då vi dividerar 0 med 3 får vi resten 0.

I nästa steg ska vi alltså hitta tre ytterligare tal som har resten 0 vid division med 3.

Det gör vi enklast genom att vi utgår från vårt valda tal 0 och sedan adderar en multipel av talet 3. De tre första tal som vi då stöter på är 3, 6 och 9:

$$0+1\cdot 3=3$$

$$0+2\cdot 3=6$$

$$0+3\cdot 3=9$$

Talen 0, 3, 6 och 9 är alltså kongruenta modulo 3. Vi kan enkelt kontrollräkna att vart och ett av dessa tal får resten 0 vid division med 3.

Detta är bara ett möjligt sätt att lösa uppgiften. Vi hade kunnat välja några andra tal som är kongruenta med 0 modulo 3 (till exempel 12, 15, 18, etc.).

Det hade även gått bra att välja att utgå från resten 1 eller 2, vilket hade kunnat ge oss till exempel lösningar i form av talen 1, 4, 7 och 10 (vid rest 1), respektive talen 2, 5, 8 och 11 (vid rest 2).

Uttryck följande påståenden enligt skrivsättet

$$a\equiv b\,\pmod{n}$$

1. Differensen mellan 34 och 6 är en multipel av 7.
2. Talen 34 och 6 ger samma rest vid division med 4.

Hur tolkar vi resultaten från a) och b) tillsammans?

Lösningsförslag

1. Att differensen mellan 34 och 6 är en multipel av 7 innebär att vi kan skriva differensen $$34-6=28$$ som en produkt med hjälp av en faktor 7. Det kan vi göra så här: $$28=4\cdot 7$$ Detta innebär att differensen 28 är delbart med 7. Därför är resten då vi dividerar 34 och 6 med 7 respektive, densamma (resten blir i båda fallen lika med 6). Därför är talen 34 och 6 kongruenta modulo 7, vilket vi skriver $$34\equiv 6\,\pmod{7}$$

2. Att talen 34 och 6 ger samma rest vid division med 4 (resten blir i båda fallen 2) innebär att talen 34 och 6 är kongruenta modulo 4, vilket vi kan skriva:
   $$34\equiv 6\,\pmod{4}$$

I deluppgifterna a) och b) kom vi alltså fram till att talen 34 och 6 är kongruenta modulo 7 och modulo 4. Hur förklarar vi detta?

Jo, vad detta innebär är att differensen mellan talen 34 och 6, det vill säga 28, är delbar med såväl 7 som 4.

Kan du komma på ytterligare något tal n där det gäller att talen 34 och 6 är kongruenta modulo n?

I nästa avsnitt kommer vi att titta närmare på några av de räkneregler som gäller vid kongruensräkning. Vi kommer då att märka att kunskap om kongruensräkning kan förenkla våra beräkningar i vissa situationer.