Betingad sannolikhet

Det kan vara intressant att ta reda på sannolikheten att en händelse B inträffar, givet att händelsen A redan har inträffat. Detta kalla för betingad sannolikhet och vi skriver:

$$P(B|A)$$

Det som står ovan utläses "Sannolikheten för händelse B betingat av händelse A", eller "Sannolikheten för B givet A". Vi börjar med att titta på ett exempel, sen skriver vi ned definitionen för betingad sannolikhet och slutligen tittar vi på ett till exempel.

Exempel

Låt händelse A="Du drar en kung ur en kortlek" och händelse B="Du drar en kung ur en kortlek". Vad är sannolikheten P(B|A)?

Lösning:

Eftersom händelsen A redan har inträffat finns det 51 kort kvar i kortleken, varav 3 är kungar. Alltså är

$$P(B|A)=\frac{3}{51}$$


Definition

Låt \(A\) och \(B\) vara två händelser och antag att \(P(A)>0\). Då är den betingade sannolikheten för händelsen \(B\), givet att \(A\) har inträffat, definierad som:

$$P(B|A):=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}$$

Att det står \(:=\) innebär inom matematiken att det till vänster om tecknet definieras som det till höger.


Exempel

Vid en hastighetskontroll på en motorväg visade det sig att 40% av alla bilar körde för fort. 5% av alla bilar körde mer än 30km/h över hastighetsbegränsningen, vilket innebär att körkortet dras in. 

Vad är sannolikheten, givet att köra för fort, att körkortet dras in?

Lösning:

Låt A vara händelsen att köra för fort, och B händelsen att körkortet dras in (att köra mer än 30km/h över hastighetsbegränsningen). Då är \(P(B|A)\) den sökta sannolikheten. \(B\cap A\) beskriver händelsen "att köra 30km/h över hastighetsbegränsningen och att köra för fort". Det är självklart att alla som kör 30km/h över hastighetsbegränsningen även kör för fort, alltså är \(B\cap A=B\). Vi får:

$$P(B|A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}=\frac{0,05}{0,4}=12,5\%$$

Detta innebär att sannolikheten att körkortet dras in om man kör för fort är 12,5%.


Övning 1:

Två händelser, A och B, sägs vara oberoende om:

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

En annan definition för att två händelser är oberoende är att

$$P(A|B)=P(A)$$

där P(B)>0. Visa att dessa definitioner är ekvivalenta.

Dessa två definitioner kan visas vara ekvivalenta med följande resonemang:

$$\begin{align}P(A\cap B)&=P(A)\cdot P(B)\\ &\iff\\ \frac{P(A\cap B)}{P(B)}&=\frac{P(A)\cdot P(B)}{P(B)}\\&\iff\\P(A|B)&=P(A)\end{align}$$



Har du en fråga du vill ställa om Betingad sannolikhet? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se