Vektorer

I Matte 1-kursen lärde vi oss lite om vektorer. I det här avsnittet kommer vi lära oss mer om vektorer och hur vi räknar med dem.

En vektor kan representeras i koordinatform:

$$\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$$

Detta är ett exempel på en vektor i ett tredimensionellt, rätvinkligt koordinatsystem, även kallat ett linjärt rum eller vektorrum.

Inom matematiken behöver vi inte begränsa oss till två- eller tredimensionella rum. Denna studie av vektorer i två- och tredimensionella rum har utökats till n-dimensionella rum. Att studera vektorer i n-dimensionella rum kallas för linjär algebra.

Olika representationer

Som nämndes i stycket ovan kan en vektor representeras i koordinatform. I ett n-dimensionellt rum ser det ut såhär:

$$\vec{a}=(a_1,a_2,\dots,a_n)$$

Talen \(a_1,a_2,\dots,a_n\) kallas för komponenter. 

Arbetet med vektorer sker ofta tillsammans med matriser, som vi går igenom i nästa avsnitt. När vi jobbar med matriser kan det vara bra att representera vektorerna antingen som en kolonnvektor, eller en radvektor.

Kolonnvektorer ser ut såhär:

$$\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{bmatrix}$$

och radvektorer:

$$\begin{bmatrix}a_1 & a_2 &\dots & a_n\end{bmatrix}$$

Som nämnts i tidigare kurser kan en vektor representeras med hjälp av enhetsvektorermen detta bara om koordinatsystem är ett ortonormalt system (ON-system).

Ett ON-system är ett koordinatsystem som kan "spännas upp" av enhetsvektorer. Enhetsvektorer har längden ett och om enhetsvektorer sinsemellan är vinkelräta är rummet ortonormalt. Till exempel är \(\mathbb{R}^2\) ett ortonormalt system då det kan spännas upp av enhetsvektorerna \(\vec{e_x}=(1,0)\) och \(\vec{e_y}=(0,1)\):

Vektorer 01

Exempel

Vi skriver vektorn \(\vec{a}=(4,3,-2)\) med hjälp av enhetsvektorerna \(e_1=(1,0,0),\ e_2=(0,1,0)\) och \(e_3=(0,0,1)\) på följande sätt:

$$\begin{align}\vec{a}&=(4,3,-2)=4\cdot e_1+3\cdot e_2-2\cdot e_3\\&= 4\cdot(1,0,0)+3\cdot(0,1,0)-2\cdot(0,0,1)\end{align}$$

Normen av en vektor

Ibland är det bra att ta reda på längden av en vektor. Längden av en vektor brukar kallas för normen av vektorn och vi skriver

$$||\vec{a}||$$

I ett vinkelrätt vektorrum, det vill säga där koordinataxlarna är vinkelräta mot varandra, räknar vi ut normen av en vektor \(\vec{a}\) med hjälp av Pythagoras sats:

$$||\vec{a}||=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}$$

Normen av en vektor är alltid ett reellt tal.

Exempel

Beräkna normen för vektorn \(\vec{a}=(3,-2,4)\).

Lösning: 

$$\begin{align}||\vec{a}||=||(3,-2,4)||&=\sqrt{3^2+(-2)^2+4^2}\\&=\sqrt{9+4+16}\\&=\sqrt{29}\approx 5,39\end{align}$$

Skalärprodukt

Skalärprodukt (inner product på engelska) mellan två vektorer är en operation som bland annat definieras som:

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=||\vec{a}||\ ||\vec{b}||\cos \theta$$

\(\theta\) i definitionen ovan är vinkeln mellan de två vektorerna. Om vi arbetar i ett ON-system kan skalärprodukten definieras som

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{k=1}^na_kb_k=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n$$

Vi går nu igenom räkneregler för skalärprodukten och formulerar det som en sats.

Sats: Låt \(\vec{a}\), \(\vec{b}\)  och \(\vec{c}\) vara vektorer i \(\mathbb{R}^2\) eller \(\mathbb{R}^3\). Då gäller

  1. \(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
  2. \((\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}\)
  3. \((k\vec{a})\cdot\vec{b}=k(\vec{a}\cdot\vec{b})\), där \(k\) är en konstant
  4. \(\vec{a}\cdot\vec{a}\geq 0\)
  5. \(\vec{a}\cdot \vec{a}=0\), om och endast om \(\vec{a}=0\)

Det är inte särskilt svårt att bevisa detta. Nedan visar vi beviset för punkt ett. De resterande punkterna kan bevisas på liknande sätt.

Bevis för 1: Enligt definitionen för skalärprodukt får vi:

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=||\vec{a}||\ ||\vec{b}||\cos\theta=||\vec{b}||\ ||\vec{a}||\cos\theta=\vec{b}\cdot\vec{a}$$

Där den andra likheten håller eftersom den kommutativa lagen gäller för reella tal.

Den kommutativa lagen innebär att \(ab=ba\) för alla realla tal a och b.

Exempel

Beräkna vinkeln mellan vektorerna \(u=(3,4)\) och \(v=(5,12)\).

Lösning: Den här uppgiften går enkelt att lösa med hjälp av skalärprodukt. Eftersom vi arbetar i ett ON-system kan vi beräkna skalärprodukten genom

$$u\cdot v=(3,4)\cdot(5,12)=3\cdot5+4\cdot12=63$$

Vi vet även att 

$$u\cdot v=||u||\cdot||v||\cos \theta$$

Eftersom normen i det här fallet är samma som absolutbeloppet får vi

$$||u||=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

och

$$||v||=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$$

Alltså är

$$\begin{align}63&=5\cdot13\cos\theta\\&\iff\\\frac{63}{65}&=\cos\theta\\&\iff\\\theta&=\cos^{-1}\frac{63}{65}\approx 0,25\end{align}$$

Vinkeln mellan \(u\) och \(v\) är ungefär 0,25 radianer.

Har du en fråga du vill ställa om Vektorer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se