Nollsummespel

Spelteorins grund började i och med att John von Neumann och Oskar Morgenstern skrev boken "Theory of games and economic behavior" på 1940-talet. Boken var den första i sitt slag som analyserade verkliga problem med hjälp av spelteori. I det här avsnittet kommer vi titta lite närmare på nollsummespel och i kommande avsnitt på Nashjämvikt.

I dagens samhälle används spelteori inom en rad olika områden. Det används flitigt inom nationalekonomi, datavetenskap samt biologin. Det har även blivit allt mer populärt att använda spelteorins idéer inom statsvetenskap. Två av de grundläggande idéerna inom spelteorin är att maximera sin vinst eller minimera sin förlust.

Nollsummespel

Ett nollsummespel är ett spel där summan av förlusten och vinsten alltid är 0, oavsett vilka strategier spelarna väljer att följa. Vi förklarar detta med ett exempel.

Exempel

Ett spel, för två personen, börjar med att båda spelarna har ett mynt. Ena sidan är blå och den andra sidan är röd. Spelförloppet är sådant att båda spelarna samtidigt visar ena sidan av myntet. Om färgerna är lika vinner den ena spelaren 1 krona, om färgerna är olika vinner den andra 1 krona.

Låt oss kalla spelarna för spelare \(x\) och spelare \(y\). Vi visualiserar detta med en tabell. Det vänstra talet i varje cell visar utfallet för spelare \(x\) och det högra talet utfallet för spelare \(y\). Med utfallet menar vi hur mycket pengar respektive spelare får.

x, y Blå Röd
Blå +1, -1 -1, +1
Röd -1, +1 +1, -1

Som vi ser är summan av vinsten och förlusten i varje cell lika med 0, vilket innebär att det här är ett nollsummespel.

I boken som nämndes ovan beskrevs en teori kallad minimax-teorin. Teorin kan tillämpas på alla nollsummespel som spelas av två spelare, och där antal möjliga strategier är ändligt. Minimax-satsen går ut på att finna en strategi som minimerar förlusten. Minimax-satsen formulerade von Neumann redan 1928. 

Spelet som beskrivits här ovan är ett sådant spel. Således kan minimax-satsen tillämpas på spelet och det visar sig att den optimala strategin, för båda spelarna, är att slumpa fram vilken färg de ska visa. De ska alltså välja blått respektive rött med lika stor sannolikhet.

Argumentet som gör detta troligt, utan att bevisa det, lyder:

Om spelare \(x\) väljer strategin att alltid visa den blåa färgen, kommer spelare \(y\) märka detta och då visa rött. Detta leder till att spelare \(y\) vinner varje gång.


Vissa spel går inte att lösa med hjälp av minimax-satsen, eftersom det finns spel som inte är nollsummespel. Den berömde matematikern John Forbes Nash (1928-2015) utvidgade minimax-teorin så att den går att tillämpa på spel som inte är nollsummespel. Den teorin kallas Nashjämvikt.

Har du en fråga du vill ställa om Nollsummespel? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se