Mer ekvationslösning

I det förra avsnittet repeterade vi vad det innebär att lösa en ekvation. Vi började även använda oss av metoden balansering , som gör det lättare att lösa mer komplicerade ekvationer.

I det här avsnittet ska vi fortsätta öva ekvationslösning. Vi kommer bland annat se att ekvationers lösningar ibland kan vara bråktal. Vi kommer även öva på att lösa ekvationer som innehåller flera variabeltermer och parenteser.

Ekvationslösning i flera steg

Vi har tidigare stött på ekvationer som vi behöver använda flera räknesätt för att lösa. I det förra avsnittet såg vi ett exempel på det, när vi löste denna ekvation:

$$ 4x+5=13$$

Vi löste denna ekvation genom att först subtrahera 5 från båda leden, och sedan dividera båda leden med 4. Då får vi de här beräkningarna:

$$4x+5=13$$

$$4x+5\,{\color{Red} {-\,5}}=13\,{\color{Red}{ -\,5} }$$

$$4x=8 $$

$$\frac{4x}{{\color{Blue} 4}}=\frac{8}{{\color{Blue} 4}}$$

$$x=2$$

På liknande sätt kan vi lösa även andra ekvationer i flera steg. Vi ska nu titta på några exempel på hur det kan gå till.


Lös ekvationen

$$ 19-3x=4$$

Om vi tittar på den här ekvationens vänstra led, så ser vi att vi ska subtrahera 3x. Det kan vara krångligt att låta ekvationen stå i den här formen, så vi börjar med att istället addera 3x till båda leden, för att på så sätt skriva ekvationen i en form som är lättare att hantera:

$$19-3x=4$$

$$19-3x\,{\color{Blue} {+\,3x}}=4\,{\color{Blue} {+\,3x}}$$

$$19=4+3x$$

När ekvationen står skriven i den här formen kan vi lösa den på samma sätt som vi gjorde med ekvationen i det förra exemplet. Först subtraherar vi 4 från båda leden, och sedan dividerar vi båda leden med 3:

$$19=4+3x $$

$$19\,{\color{Red} {-\,4}}=4+3x\,{\color{Red} {-\,4}}$$

$$15=3x$$

$$\frac{15}{{\color{Blue} 3}}=\frac{3x}{{\color{Blue} 3}}$$

$$5=x$$

Lösningen till ekvationen är alltså x = 5.


Lös ekvationen

$$ 4x-2x+7=21$$

I den här ekvationen har vi ett vänsterled som innehåller två variabeltermer med samma variabel: 4x och 2x. Därför kan vi börja med att förenkla uttrycket i det vänstra ledet:

$$4x-2x+7=21$$

$$2x+7=21$$

Nu kan vi lösa ekvationen på samma sätt som vi gjort tidigare, genom att först subtrahera 7 och sedan dividera med 2:

$$2x+7=21$$

$$2x+7\,{\color{Red} {-\,7}}=21\,{\color{Red} {-\,7}}$$

$$2x=14$$

$$\frac{2x}{{\color{Blue} 2}}=\frac{14}{{\color{Blue} 2}}$$

$$x=7$$

Ekvationens lösning är alltså x = 7.


Lös ekvationen

$$ z-\frac{2z}{3}=4$$

När vi ska lösa den här ekvationen börjar vi med att förenkla det vänstra ledet, eftersom det innehåller två variabeltermer. Från avsnittet om addition och subtraktion av bråktal vet vi att vi kan subtrahera två bråktal om de har samma nämnare. Därför skriver vi om den första z-termen som ett bråktal med nämnaren 3:

$$ z=\frac{3z}{3}$$

Nu kan vi förenkla vänsterledet i den ursprungliga ekvationen:

$$ {\color{Magenta} {z}}-\frac{2z}{3}=4 $$

$${\color{Magenta} {\frac{3z}{3}}}-\frac{2z}{3}=4 $$

$$\frac{3z-2z}{3}=4 $$

$$\frac{z}{3}=4$$

När vi har kommit så här långt kan vi multiplicera båda leden med 3, så att vi får z ensamt i vänster led:

$$\frac{z}{3}=4 $$

$${\color{Blue} {3\,\cdot}}\, \frac{z}{3}={\color{Blue} {3\,\cdot}}\, 4$$

$$z=12$$

Lösningen till ekvationen är alltså z = 12.


Lös ekvationen

$$ 3x-1=3$$

Vi ser att vi har variabeltermen 3x i det vänstra ledet, så vi försöker att lösa ekvationen på vanligt sätt, genom att först addera 1 till båda leden och sedan dividera båda leden med 3:

$$3x-1=3$$

$$3x-1\,{\color{Blue} {+\,1}}=3\,{\color{Blue} {+\,1}}$$

$$3x=4 $$

$$\frac{3x}{{\color{Red} 3}}=\frac{4}{{\color{Red}{ 3}}} $$

$$x=\frac{4}{3}$$

Den lösning till ekvationen som vi kom fram till är ett bråktal. Vi kan inte förkorta detta bråktal längre, så det blir vårt svar i uppgiften.


Lös ekvationen

$$ (2x-3)-(5-4x)=10$$

Den här ekvationens vänsterled är ganska komplicerat. Det innehåller två parenteser och flera variabeltermer och konstanter.

Vi får därför börja med att förenkla ekvationens vänstra led, vilket vi gör genom att först ta bort parenteserna. När det står ett minustecken framför parentesen måste vi komma ihåg att vi byter tecken på termerna inom parentesen när den tas bort:

$$(2x-3)-(5-4x)=10$$

$$2x-3-5+4x=10$$

Vi har flera variabeltermer och flera konstanttermer i vänstra ledet, så vi fortsätter att förenkla ekvationens vänstra led.

$${\color{Magenta} {2x}}-\color{Blue}{3}-\color{Blue}{5}+{\color{Magenta} {4x}}=10$$

$${\color{Magenta} {6x}}-\color{Blue}{8}=10$$

Sedan löser vi ekvationen med addition och division:

$$6x-8=10$$

$$6x-8\,{\color{Blue}{ +\,8}}=10\,{\color{Blue}{ +\,8}}$$

$$6x=18$$

$$\frac{6x}{{\color{Red} 6}}=\frac{18}{{\color{Red} 6}}$$

$$x=3$$

Det här var en mer komplicerad ekvation att lösa, men till slut kom vi fram till lösningen x = 3 genom att först förenkla uttrycket i det vänstra ledet och sedan använda balansering.


Videolektion

I den här videon fortsätter vi gå igenom ekvationslösning.

Har du en fråga du vill ställa om Mer ekvationslösning? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se