Grundpotensform

I det förra avsnittet började vi bekanta oss med potenser, vilket är ett sätt att kortfattat skriva upprepad multiplikation.

I det här avsnittet ska vi lära oss hur vi kan skriva om tal till grundpotensform med hjälp av tiopotenser. Grundpotensform är användbart när vi vill skriva mycket stora eller mycket små tal i en kompaktare form.

Tiopotenser

Som vi såg i avsnittet om potenser, kan vi skriva en upprepad multiplikation med hjälp av potenser. Till exempel kan vi skriva följande produkt som en potens med basen 10, vad vi kallar en tiopotens:

$$ 10\cdot 10\cdot 10={10}^{3}$$

Vi vet också att 10 multiplicerat med sig självt tre gånger är lika med 1 000:

$$ 10\cdot 10\cdot 10=100\cdot 10=1\,000$$

Det innebär ju också att

$$ {10}^{3}=1\,000$$

På motsvarande sätt kan vi komma fram till dessa värden på ett antal olika tiopotenser:

$${10}^{1}=10\,\,(tio)$$

$${10}^{2}=100\,\,(hundra)$$

$${10}^{3}=1\,000\,\,(tusen)$$

$${10}^{4}=10\,000\,\,(tiotusen)$$

$${10}^{5}=100\,000\,\,(hundratusen)$$

$${10}^{6}=1\,000\,000\,\,(en\,miljon)$$

$${10}^{9}=1\,000\,000\,000\,\,(en\,miljard)$$

Grundpotensform

Att kunna skriva om tal med hjälp av tiopotenser är användbart för att skriva stora tal.

Om vi till exempel har talet 400, så kan vi skriva det som en produkt som innehåller en tiopotens, så här:

$$ 400=4\cdot 100=4\cdot {10}^{2}$$

Om vi kommer ihåg hur vi gjorde i årskurs 7, så kan vi se detta som att vi går "åt andra hållet" jämfört med när vi multiplicerar med 100. Vi började med en produkt (400) och delade upp den i faktorer (4 respektive 10\(^2\)).

Även större tal kan vi skriva som en produkt som innehåller en tiopotens, till exempel talet 657 000, som vi kan skriva om så här:

$$ 657\,000=6,57\cdot 100\,000=6,57\cdot {10}^{5}$$

På det här sättet kan vi skriva ett tal som en produkt som innehåller en tiopotens.

Om faktorn som står framför tiopotensen dessutom är ett tal som är större än 1 men mindre än 10, till exempel 4 eller 6,57, då säger vi att talet är skrivet i grundpotensform.


Skriv följande tal i grundpotensform

$$a)\,72$$

$$b)\,3\,001$$

Lösningsförslag:

a)

Talet 72 är större än 10, så vi behöver skriva om det för att det ska stå i grundpotensform:

$$ 72=7,2\cdot {10}^{1}$$

Nu är talet skrivet i grundpotensform eftersom produkten utgörs av en faktor (7,2) som är större än 1 och mindre än 10, och en tiopotensfaktor (10):

$$ 7,2\cdot {10}^{1}$$

b)

Talet 3001 är större än 10, så även i det här fallet får vi skriva om talet för att det ska stå i grundpotensform:

$$ 3\,001=3,001\cdot {10}^{3}$$

Eftersom produkten utgörs av en faktor (3,001) som är större än 1 och mindre än 10, och en tiopotensfaktor (10\(^3\)), är talet nu skrivet i grundpotensform:

$$ 3,001\cdot {10}^{3}$$


Beräkna värdet av detta tal, som är skrivet i grundpotensform

$$ 8,7\cdot {10}^{3}$$

Talet är skrivet i grundpotensform, vilket ju innebär att det är skrivet som en produkt av faktorerna 8,7 och 103. Vi beräknar värdet av talet genom att beräkna denna produkt:

$$ 8,7\cdot {10}^{3}=8,7\cdot 1\,000=8\,700$$


Tal i grundpotensform

När vi nu har lärt oss hur vi kan skriva tal i grundpotensform, ska vi återgå till vad grundpotensformen är bra för, nämligen bland annat att skriva stora tal.


Jordens massa

Vill vi till exempel skriva Jordens massa, så kan vi uttrycka den med alla nollor utskrivna, vilket blir ungefär så här mycket:

$$ 6\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,kg$$

Den här massan är alltså en 6:a följd av 24 stycken nollor. Skriver vi denna massa i grundpotensform blir det

$$ 6\cdot {10}^{24}\,kg$$

Att ange en så stor massa i denna form istället för med alla nollor utskrivna är såklart mycket enklare och risken för att man ska räkna fel är mindre när man slipper hålla reda på alla dessa nollor.


Medelavstånd mellan Jorden och Månen

Ett annat exempel där det är lämpligt att använda grundpotensform är om vi ska ange medelavståndet mellan Jordens och Månens mittpunkter. Detta avstånd är ungefär

$$ 380\,000\,km$$

Vi kan skriva om detta avstånd i meter i grundpotensform:

$$ 380\,000\,km=380\,000\,000\,m=3,8\cdot {10}^{8}\,m $$


Videolektion

I den här videon går vi igenom tiopotenser och grundpotensform.

I den här videon går vi igenom tiopotenser och små tal.

I den här videon går vi igenom hur vi räknar med tiopotenser.

Har du en fråga du vill ställa om Grundpotensform? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se